汉诺塔问题

一，问题描述

汉诺塔这个游戏相信大家都玩过。问题是这样的：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

题目剖析：

这道题题要解决的问题便是让A柱子上的盘子平移到C柱子上。但是盘子的大小是底下大上边小。所以这里便让我们不能直接将A柱子上前（n)个的盘子直接移动到C柱子上。所以我们必须借助B柱子才行。在将A柱子上（n-1)个盘子移动到B柱子时又会遇到一样的问题，所以这时你又要借助C柱子来做同样的事。在这里便出现了一个重复的子问题。所以我们便可以使用递归来解决问题。

二，问题解决

1.首先我们找到了重复的子问题：想要将A上面的n个盘子按照规矩移到C柱子上时就要借助C柱子将前（n-1）移动到B柱子上。当A柱子上的盘子只剩下一个时便可以将A柱子上的盘子移动到C柱子上。然后便是将B柱子上的（n-2)个盘子借助C柱子移动到A柱子上，在B柱子上的盘子只剩下一个的时候便将B柱子上的盘子直接移动到C上。……这些便是子问题。

题目接口：

class Solution {
public:
    void hanota(vector& A, vector& B, vector& C) {

    }
};

 1.设计递归函数的函数头

通过上面的题解分析，函数头里面要放入啥其实已经很明显了。要放的除了三根柱子之外便是盘子的个数。所以函数头如下：

    void dfs(vector& A, vector& B, vector& C,int n)
    {
        
    }

2.递归函数的出口

递归函数的出口其实就是递归函数的特殊处理条件。在汉诺塔中的特殊条件便是当A上只有一个盘子时只要将A上的盘子直接移动到C上便可以了。代码如下：

 void dfs(vector& A, vector& B, vector& C,int n)
    {
        if(n== 1)
        {
            C.push_back(A.back());
            A.pop();
        }
    }

 3.函数体的书写

函数体的书写就有点抽象了。但是我们可以对某一个子问题来进行分析书写。比如当A上的盘子个数为3时。首先就要借助C将前两个盘子放到B中。要想将前两个盘子放到B中首先就要将第一个盘子放到C中。再将第二个盘子放到B中。再将第三个盘子放到C中。

按照这个逻辑写出的代码如下：

 void dfs(vector& A, vector& B, vector& C,int n)
    {
        if(n == 1)
        {
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return;
        }

        dfs(A,C,B,n-1);//借助C将A上的n-1个盘子移动到B上。

        C.push_back(A.back());当递归到只有一个的时候，前面已经处理掉了第一个。返回时A上还有第二个盘子，再处理掉第二个盘子将A空出来。
        A.pop_back();

        dfs(B,A,C,n-1);//借助空出来的A来将B上的n-1个盘子移动到C上。

    }