代码随想录算法训练营第四十四天|完全背包、518. 零钱兑换 II、377. 组合总和 Ⅳ

完全背包

文档讲解 ： 代码随想录 - 完全背包
状态：再次回顾。

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

代码：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

518.零钱兑换II

文档讲解 ： 代码随想录 - 518.零钱兑换II
状态：再次回顾。

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牢记：

求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

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动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]的定义为：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式
   dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化
   dp[0] = 1 ;

4. 确定遍历顺序
   先遍历物品，再遍历背包。（不可以换顺序！）

5. 举例推导dp数组:
   输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

• 时间复杂度: $O(mn)$，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
• 空间复杂度: $O(m)$

377. 组合总和 Ⅳ

文档讲解 ： 代码随想录 - 377. 组合总和 Ⅳ
状态：再次回顾。

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牢记：

求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

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动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]的定义为：凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式
   dp[j] += dp[j - nums[i]];

3. dp数组如何初始化
   dp[0] = 1 ;

4. 确定遍历顺序
   先遍历背包，再遍历物品。（不可以换顺序！）

5. 举例推导dp数组:
   

本题代码：

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

• 时间复杂度: $O(target\ast n)$，其中 n 为 nums 的长度
• 空间复杂度: $O(target)$