第五章，向量空间，5-线性方程组的解与向量空间

玩转线性代数(30)线性方程组的解与向量空间的笔记，相关证明以及例子见原文

齐次线性方程组的解

对n元齐次线性方程组Ax=0,当R(A)=n时，只有零解；当R(A)

解向量

设有齐次线性方程组Ax=0 (1)，称方程(1)的解 X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​为方程组(1)的解向量

齐次线性方程组的解的性质

性质1 若${\xi }_1,{\xi }_2$为方程组 (1)的解，则${\xi }_1+{\xi }_2$也是该方程组的解
性质2 若${\xi }_1$为方程组（1）的解，k为实数，则$k{\xi }_1$也是（1）的解

解空间

由解的性质知：线性方程组Ax=0的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组的解空间，对矩阵A来讲，称为零空间．

定义：零空间

任意一个矩阵A对应的Ax=0的解空间称为A的零空间,用Null A表示。

定义：基础解系

齐次线性方程组Ax=0的有限个解$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t)$满足：
（1）$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t)$线性无关；
（2）AX=0的任意一个解均可由$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t)$线性表示
则称$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t)$是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系
注：方程组AX=0的解集合如果看成向量空间，它就是基础解系；如果看成向量组，它就是最大无关组，如果看成向量空间，它就是基，有一个概念对于方程组AX=0的解空间来说是三位一体的关系。
基础解系的求法见原文

定义：齐次线性方程组的通解

若$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t)$是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则AX=0的通解可表示为
$$X=k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_t{\eta }_t$$,其中$k_1,k_2,\cdots ,k_t$为任意常数

零空间的秩

定理：设矩阵$A_{m\ast n}$的秩为r,则n元线性方程组AX=0的解空间的秩为N-R.

非齐次线性方程组的解

性质

性质1 若${\eta }_1,{\eta }_2$为非齐次线性AX=b的解，则${\eta }_1-{\eta }_2$是对应的齐次线性方程组AX=0的解
性质2 若$\eta$为非齐次线性AX=b的解, $\xi$为对应的齐次线性方程组AX=0的解，则$\xi +\eta$是非齐次线性方程组AX=b的解
从上述性质上看，如果${\xi }_1,{\xi }_2$是非齐次线性方程组AX=b的解,则${\xi }_1+{\xi }_2$是AX=2b的解，所以不满足向量空间中向量加法的封闭性，因而非齐次线性方程组AX=b的解集合不构成向量空间。

解的结构

假定方程组AX=b有无穷多解，求其通解，发现通解结构为
$x=c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+\cdots +c_{n-r}{\xi }_{n-r}+{\eta }^{\ast }$，其中$c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+\cdots +c_{n-r}{\xi }_{n-r}$为AX=0的通解，${\eta }^{\ast }$是当前面系数均为零时AX=b的解，称为$AX=b$的一个特解，所以可以得到如下结论：
非齐次线性方程组的通解=对应的齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解