算法分析：C语言实现动态规划之0-1背包问题

背包问题求解原理：

为了装满背包，我们导出一个递归公式如下，设V[i,j]用来表示从前i项中取出来的装人体积为j的背包的物品的最大价值。这里，i的范围是从О到n,j的范围是从0到C。这样，要寻求的是值 V[n,C]。很清楚，V[o,j]对于所有j的值是0，这是由于背包中什么也没有。另-方面，V[i,0]对于所有i的值为0，因为没有东西可放到为0的背包里。一般情况下，当i和j都大于0时，有下面的结论，它是很容易证明的。

观察结论

1.V[i-1,j]:仅用最优的方法取自的物品去装入体积为j的背包所得到的价值最大值。

2. V[i-1,j- s,]+n:用最优的方法取自的物品去装入体积为j- s;的背包所得到的价值最大值加上物品u;的价值。这仅应用于如果j≥s、以及它等于把物品u加到背包上的情况。

背包问题的递推公式：

 （CSDN导入不了word上写的公式，只能放图片，难受，呜呜┭┮﹏┭┮）

背包容量为10
有4个物品
这四个物品的体积与价值分别为：
2   4   第一件物品
3   2   第二件物品
4   5   第三件物品
6   8   第四件物品   

前n件物品的体积相加应小于等于相应的容量，并在该容量下使相应的价值相加实现最大。

    0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  //0~10不同容量下分别能装下不同体积的物品
0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   
1   0   0   4   4   4   4   4   4   4   4   4   
2   0   0   4   4   4   6   6   6   6   6   6   
3   0   0   4   4   5   6   9   9   9   11  11  
4   0   0   4   4   5   6   9   9   12  12  13

如上图矩阵

【3，6】指的是前三件物品在容量为6时，实现的最大价值，此时第一件物品与第三件物品的体积相加，价值也相加，此时为5+4=9，虽然容量为6的情况下也可以装下第一件与第二件物品，但这两件物品的价值为4+2=6，没有前者的价值大，所以将9放进，实现该容量下的最大价值。

【4，9】指的是前4件物品在容量为9时，实现的最大价值，此时为第一件和第四件物品的体积相加，虽然不能完全装完背包但此时的价值8+4=12相加最大。在容量为9的情况下，也可以装下第一件、第二件和第三件物品，但这些物品的价值相加为4+2+5=11，12>11所以还是装12，实现该容量下的最大价值。

 代码实现如下：

#include 
#include 
#include 
#include 


void pack01();
int max(int a,int b);
int main()
{
    pack01();
    return 0;
}
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}

void pack01()
{
    int *w;
    int *v;
    int i,j,n,c;
    printf("输入背包容量以及物品个数（容量 个数）:");
    scanf("%d%d",&c,&n);
    printf("输入各个物品体积以及价值（体积 价值（回车））：\n");
    w=(int* )malloc(n*sizeof(int));
    v=(int* )malloc(n*sizeof(int));
    w[0]=v[0]=0;
    for(i=1;i

程序实现：