LA@向量运算@内积@向量正交
文章目录
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- 内积
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- 符号说明
- 向量内积
- 性质
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- 对称性
- 线性性
- 正定性
- 推论:柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨公式(柯西不等式)
- 解系几何向量的数量积和线性代数向量内积
- n维向量的长度(范数)
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- 向量长度的性质
- 单位向量
- 单位化
- 向量夹角
- 向量正交
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- 标准正交
- 正交向量组
- 正交向量组线性无关
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- 记号补充Note
- 例
- 标准正交基
- Kronecker函数
- 标准正交基表示任意向量
- 内积补充
内积
- 高等代数中,内积是较为抽象的概念,这里我们仅讨论内积的简化版本,也是具象化的版本
- 内积是一个二元实函数,它满足内积的抽象定义(下面的性质一节提到的4个条件),
符号说明
- 两个向量 a = ( a 1 , ⋯ , a n ) T \bold{a}=(a_1,\cdots,a_n)^T a=(a1,⋯,an)T, b = ( b 1 , ⋯ , b n ) T \bold{b}=(b_1,\cdots,b_n)^T b=(b1,⋯,bn)T 的点积可以用圆括号或中括号或尖括号表示:
- ( a , b ) (\bold{a,b}) (a,b)
- < a , b > <\bold{a,b}> <a,b>
- [ a , b ] [\bold{a,b}] [a,b]
- 这里讨论的内积是向量内积(二元函数 ( a , b ) (\bold{a,b}) (a,b)= ∑ i = 1 n a i b i \sum_{i=1}^{n}a_ib_i ∑i=1naibi),是满足抽象内积定义的具体函数
向量内积
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两个同维数(规格)的 n n n维向量 a , b \bold{a,b} a,b的点积(dot product)定义为 [ a , b ] [\bold{a,b}] [a,b]= ∑ i = 1 n a i b i \sum_{i=1}^{n}a_ib_i ∑i=1naibi
- 此处, n n n维向量指向量包含的元素个数为 n n n
- 尽管向量默认表示为列向量,但 a , b \bold{a,b} a,b有时不都是列向量,仍然可以使用上述公式计算点积
- 当 a , b \bold{a,b} a,b都是列向量时,可以用矩阵乘法的形式表示内积, [ a , b ] = a T b [\bold{a,b}]=\bold{a}^T\bold{b} [a,b]=aTb
- 作为对比 a b T \bold{ab^{T}} abT的结果是一个 n n n阶矩阵,而 a T b \bold{a^T{b}} aTb是一个标量
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点积也称为内积
- a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\sum _{i=1}^{n}{\color {red}a}_{i}{\color {blue}b}_{i} ={\color {red}a}_{1}{\color {blue}b}_{1}+{\color {red}a}_{2}{\color {blue}b}_{2}+\cdots +{\color {red}a}_{n}{\color {blue}b}_{n}} a⋅b=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn
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向量点积的结果是一个标量
性质
对称性
- ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) (α,β)=(β,α)
- 点积满足交换律(而一般的矩阵乘法是不满足交换律的)
线性性
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( k α , β ) = ( α , k β ) = k ( α , β ) (k\alpha,{\beta})=(\alpha,k\beta)=k(\alpha,\beta) (kα,β)=(α,kβ)=k(α,β)
- ∑ i k α i β i = ∑ i α i k β i = k ∑ i α i β i \sum_ik\alpha_i\beta_i =\sum_{i}\alpha_ik\beta_i =k\sum_{i}\alpha_{i}\beta_i i∑kαiβi=i∑αikβi=ki∑αiβi
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( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma) (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)
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∑ i ( α + β ) i δ i = ∑ i ( α i δ i + β i δ i ) = ∑ i α i δ i + ∑ i β i δ i \sum_{i}(\alpha+\beta)_i\delta_i =\sum_{i}(\alpha_i\delta_i+\beta_i\delta_i) =\sum_{i}\alpha_i\delta_i+\sum_{i}\beta_i\delta_i i∑(α+β)iδi=i∑(αiδi+βiδi)=i∑αiδi+i∑βiδi
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推广: ( ∑ α i , β ) = ∑ ( α i , β ) (\sum\alpha_i,\beta)=\sum(\alpha_i,\beta) (∑αi,β)=∑(αi,β)
∑ i ( ( ∑ j α j ) β i ) = ∑ i ( ∑ j α j β i ) \sum_{i}\left((\sum_{j}\alpha_j)\beta_i\right) =\sum_{i}(\sum_{j}\alpha_j\beta_i) i∑((j∑αj)βi)=i∑(j∑αjβi)
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正定性
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( α , α ) ⩾ 0 (\alpha,\alpha)\geqslant 0 (α,α)⩾0当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0时, ( α , α ) = 0 (\alpha,\alpha)=0 (α,α)=0
- ( α i , α i ) = ∑ i α i 2 ⩾ 0 (\alpha_i,\alpha_i)=\sum_{i}\alpha_i^2\geqslant{0} (αi,αi)=i∑αi2⩾0
推论:柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨公式(柯西不等式)
- 线性代数教材的介绍可能比较简略,可以参考高等代数教材,证明方法有许多
- ( a , b ) 2 ⩽ ( a , a ) ( b , b ) (\bold{a},\bold{b})^2\leqslant(\bold{a},\bold{a})(\bold{b},\bold{b}) (a,b)2⩽(a,a)(b,b)
- 在人教版高中数学不等式选讲中涉及过这个公式的简化版本,下面介绍高等代数中介绍的简明证明方法
- 证明:
- 当 b = 0 \bold{b}=0 b=0时,不等式成立
- 当 b ≠ 0 \bold{b}\neq{\bold0} b=0时,令 t t t是一个实变数,并构造向量 c = a + t b \bold{c}=\bold{a}+t\bold{b} c=a+tb
- 由内积的非零性质由 ( c , c ) ⩾ 0 (\bold{c,c})\geqslant{0} (c,c)⩾0
- F ( t ) = ( a + t b , a + t b ) ⩾ 0 F(t)=(\bold{a}+t\bold{b},\bold{a}+t\bold{b}) \geqslant{0} F(t)=(a+tb,a+tb)⩾0
- 由内积的线性性质, F ( t ) F(t) F(t)可以展开并化简为:
- = ( a , a + t b ) + ( t b , a + t b ) (\bold{a},\bold{a}+t\bold{b})+(t\bold{b},\bold{a}+t\bold{b}) (a,a+tb)+(tb,a+tb)= ( a , a ) + ( a , t b ) (\bold{a},\bold{a})+(\bold{a},t\bold{b}) (a,a)+(a,tb)+ ( t b , a ) (t\bold{b},\bold{a}) (tb,a)+ ( t b , t b ) (t\bold{b},t\bold{b}) (tb,tb)
- = ( b , b ) t 2 + 2 ( a , b ) t + ( a , a ) (\bold{b,b})t^2+2(\bold{a},\bold{b})t+(\bold{a,a}) (b,b)t2+2(a,b)t+(a,a)
- 方法1:
- 可见, F ( t ) F(t) F(t)是关于 t t t的一元二次函数,由因为 F ( t ) ⩾ 0 F(t)\geqslant{0} F(t)⩾0,二次项系数 ( b , b ) > 0 (\bold{b,b})>0 (b,b)>0,抛物线 F ( t ) F(t) F(t)开口向上且至多于 t t t轴有一个交点,从而 Δ = 4 ( a , b ) 2 − 4 ( b , b ) ( a , a ) ⩾ 0 \Delta=4(\bold{a,b})^2-4(\bold{b,b})(\bold{a,a})\geqslant{0} Δ=4(a,b)2−4(b,b)(a,a)⩾0
- 即 ( a , b ) 2 ⩽ ( a , a ) ( b , b ) (\bold{a},\bold{b})^2\leqslant(\bold{a},\bold{a})(\bold{b},\bold{b}) (a,b)2⩽(a,a)(b,b)
- 方法2:取 t = − ( a , b ) ( b , b ) t=-\frac{(\bold{a,b})}{(\bold{b,b})} t=−(b,b)(a,b),代入 F ( t ) F(t) F(t),得 F ( t ) F(t) F(t)= ( b , b ) ( a , b ) 2 ( b , b ) 2 (\bold{b,b})\frac{(\bold{a,b})^2}{(\bold{b,b})^2} (b,b)(b,b)2(a,b)2- 2 ( a , b ) ( a , b ) ( b , b ) 2(\bold{a,b})\frac{(\bold{a,b})}{(\bold{b,b})} 2(a,b)(b,b)(a,b)+ ( a , a ) (\bold{a,a}) (a,a)= − ( a , b ) 2 ( b , b ) -\frac{(\bold{a,b})^2}{(\bold{b,b})} −(b,b)(a,b)2+ ( a , a ) (\bold{a,a}) (a,a) ⩾ 0 \geqslant{0} ⩾0
- 所以 ( a , b ) 2 ⩽ ( a , a ) ( b , b ) (\bold{a},\bold{b})^2\leqslant(\bold{a},\bold{a})(\bold{b},\bold{b}) (a,b)2⩽(a,a)(b,b)
解系几何向量的数量积和线性代数向量内积
- 在解系几何中,我们引进向量的数量积: x , y = ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos θ \bold{x,y}=\bold{|x||y|}\cos{\theta} x,y=∣x∣∣y∣cosθ
- 在三维空间直角坐标系,数量积的计算公式为 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) (x_1,x_2,x_3)\cdot(y_1,y_2,y_3) (x1,x2,x3)⋅(y1,y2,y3)= ∑ i = 1 3 x i y i \sum_{i=1}^{3}{x_iy_i} ∑i=13xiyi
- 而 n n n维向量的内积是数量积的一种推广;但是 n n n维向量没有低维(n=3)维那样的长度和夹角的概念
- 因此,只能按照数量积的直角坐标计算公式来推广: ( x 1 , ⋯ , x n ) ( y 1 , ⋯ , y n ) (x_1,\cdots,x_n)(y_1,\cdots,y_n) (x1,⋯,xn)(y1,⋯,yn)= ∑ i = 1 n x i y i \sum_{i=1}^{n}x_iy_i ∑i=1nxiyi
- 然后利用推广得到的内积公式反过来定义 n n n维向量的长度,夹角(抽象的,高维的长度和夹角)
n维向量的长度(范数)
- 令 ∣ ∣ x ∣ ∣ = ( x , x ) ||\bold{x}||=\sqrt{(\bold{x,x})} ∣∣x∣∣=(x,x)= ∑ i = 1 n x i 2 \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2} ∑i=1nxi2, ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\bold{x}|| ∣∣x∣∣称为 n n n维向量 x \bold{x} x的长度或范数
- ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( x , x ) ||\bold{x}||^2=(\bold{x,x}) ∣∣x∣∣2=(x,x)= ∑ i = 1 n x i 2 \sum_{i=1}^{n}x_i^2 ∑i=1nxi2
向量长度的性质
- 向量长度具有解析几何中向量长度的基本属性
- 非负性: x ≠ 0 \bold{x\neq{0}} x=0时, ∣ ∣ x ∣ ∣ > 0 ||\bold{x}||>0 ∣∣x∣∣>0;当 x = 0 \bold{x=0} x=0时, ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 ||\bold{x}||=0 ∣∣x∣∣=0
- 齐次性: ∣ ∣ λ x ∣ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\lambda{\bold{x}}||=|\lambda|||\bold{x}|| ∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣
- ∣ ∣ λ x ∣ ∣ ||\lambda{\bold{x}}|| ∣∣λx∣∣= ( λ x , λ x ) \sqrt{(\lambda{\bold{x}},\lambda\bold{x})} (λx,λx)= λ 2 ( x , x ) \sqrt{\lambda^2({\bold{x}},\bold{x})} λ2(x,x)= ∣ λ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ |\lambda|||\bold{x}|| ∣λ∣∣∣x∣∣
单位向量
- 当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||\bold{x}||=1 ∣∣x∣∣=1时, x \bold{x} x是单位向量
单位化
- 若 a ≠ 0 \bold{a}\neq{\bold{0}} a=0,取 x = a ∣ ∣ a ∣ ∣ \bold{x=\frac{a}{||a||}} x=∣∣a∣∣a,则 x \bold{x} x是单位向量
- 非单位向量单位化的过程称为单位化
向量夹角
- 由施瓦茨不等式: ( x , y ) 2 ⩽ ( x , x ) ( y , y ) (\bold{x,y})^2\leqslant{(\bold{x,x})(\bold{y,y})} (x,y)2⩽(x,x)(y,y),即 − ( x , y ) ( y , y ) -{\sqrt{(\bold{x,y})(\bold{y,y})}} −(x,y)(y,y) ⩽ \leqslant ⩽ ( x , y ) (\bold{x,y}) (x,y) ⩽ \leqslant ⩽ ( x , y ) ( y , y ) {\sqrt{(\bold{x,y})(\bold{y,y})}} (x,y)(y,y)
- − ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ -||\bold{x}||\;||\bold{y}|| −∣∣x∣∣∣∣y∣∣ ⩽ \leqslant ⩽ ( x , y ) (\bold{x,y}) (x,y) ⩽ \leqslant ⩽ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||\bold{x}||\;||\bold{y}|| ∣∣x∣∣∣∣y∣∣
- − 1 ⩽ ( x , y ) ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ⩽ 1 -1\leqslant{\frac{(\bold{x,y})}{||\bold{x}||\;||\bold{y}||}}\leqslant{1} −1⩽∣∣x∣∣∣∣y∣∣(x,y)⩽1
- 当 x ≠ 0 , y ≠ 0 \bold{x\neq{0},y\neq{0}} x=0,y=0时, θ = arccos ( x , y ) ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta=\arccos{\frac{(\bold{x,y})}{||\bold{x}||\;||\bold{y}||}} θ=arccos∣∣x∣∣∣∣y∣∣(x,y)称为 n n n维向量 x , y \bold{x,y} x,y的夹角
向量正交
- 当 ( x , y ) = 0 (\bold{x,y})=0 (x,y)=0时, x , y \bold{x,y} x,y正交, 正交（orthogonal）,记为 x ⊥ y \bold{x\perp{y}} x⊥y
- 若 x = 0 \bold{x=0} x=0, x \bold{x} x与任意向量正交
- 对于二维,三维向量,两个向量正交的几何解释是两条有向线段构成垂直关系
- n n n维向量垂直是这一事实的推广
标准正交
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在 R n \mathbb{R}^n Rn 中，至多有 n n n 个范数非零向量互相正交
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如果这些向量不仅互相正交，并且范数都为 1，那么我们称它们是 标准正交（orthonormal）。
正交向量组
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一组两两正交的非零向量组称为正交向量组
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若 A : α 1 ⋯ , α n A:\alpha_1\cdots,\alpha_n A:α1⋯,αn, α i ≠ 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n \alpha_i\neq{0},i=1,2,\cdots,n αi=0,i=1,2,⋯,n中向量两两正交, ( α i , α j ) = 0 , ( i ≠ j ) , i , j = 1 , 2 , ⋯ , n (\alpha_i,\alpha_j)=0,(i\neq{j}),i,j=1,2,\cdots,n (αi,αj)=0,(i=j),i,j=1,2,⋯,n,则称 A A A是一个正交向量组,记为 A ⊥ A_{\perp} A⊥
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简单说就是向量间两两正交的向量组是正交向量组
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显然有
- ( α i , α j ) = { 0 , i ≠ j r , i = j r > 0 (\alpha_i,\alpha_j) =\begin{cases} 0,&i\neq{j}\\ r,&i=j \end{cases} \\r>0 (αi,αj)={0,r,i=ji=jr>0
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正交向量组线性无关
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正交向量组 A ⊥ : α 1 , ⋯ , α n A_{\perp}:\alpha_1,\cdots,\alpha_n A⊥:α1,⋯,αn线性无关
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证明
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设存在常数 k 1 , ⋯ , k n k_1,\cdots,k_n k1,⋯,kn
- ∑ i n k i α i = 0 \sum_{i}^{n}k_i\alpha_i=\bold{0} ∑inkiαi=0
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设 α p , p ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } \alpha_{p},p\in\{1,2,\cdots,n\} αp,p∈{1,2,⋯,n},我们将通过证明 k i = 0 , i = 1 , ⋯ , n k_i=0,i=1,\cdots,n ki=0,i=1,⋯,n来说明 A A A线性无关
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两边同时和 α p \alpha_p αp做内积: ( α p , ∑ i n k i α i ) = ( α p , 0 ) (\alpha_p,\sum_{i}^{n}k_i\alpha_i)=(\alpha_p,\bold{0}) (αp,∑inkiαi)=(αp,0)
- 由内积运算的线性性,等式左边L= ∑ i n ( α p , k i α i ) \sum_i^n(\alpha_p,k_i\alpha_i) ∑in(αp,kiαi)= ∑ i n k i ( α p , α i ) \sum_i^nk_i(\alpha_p,\alpha_i) ∑inki(αp,αi),当 p ≠ i p\neq{i} p=i时 ( α p , α i ) = 0 (\alpha_p,\alpha_i)=0 (αp,αi)=0,所以 L = k p ( α p , α p ) L=k_p(\alpha_p,\alpha_p) L=kp(αp,αp)
- 等式右边 R = 0 R=0 R=0
- 所以 k p ( α p , α p ) = 0 k_p(\alpha_p,\alpha_p)=0 kp(αp,αp)=0,而 ( α p , α p ) > 0 (\alpha_p,\alpha_p)>0 (αp,αp)>0所以 k p = 0 k_p=0 kp=0
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不失一般性,当 p = 1 , ⋯ , n p=1,\cdots,n p=1,⋯,n时都有 k p = 0 k_p=0 kp=0,所以 k 1 , ⋯ , k n = 0 k_1,\cdots,k_n=0 k1,⋯,kn=0,
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所以 A A A线性无关
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记号补充Note
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( α p , α i ) = 0 (\alpha_p,\alpha_i)=0 (αp,αi)=0,if p ≠ i p\neq{i} p=i
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( α p , α i ) > 0 (\alpha_p,\alpha_i)>0 (αp,αi)>0,if p = i p=i p=i
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或者描述为:
( α p , α p ‾ ) = 0 \Large (\alpha_p,\alpha_{\overline{p}})=0 (αp,αp)=0- p , p ‾ ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } p,\overline{p}\in\{1,2,\cdots,n\} p,p∈{1,2,⋯,n}, p ‾ ≠ p \overline{p}\neq{p} p=p
例
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已知向量 a 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T \bold{a}_1=(1,1,1)^T a1=(1,1,1)T, a 2 = ( 1 , − 2 , 1 ) T \bold{a}_2=(1,-2,1)^T a2=(1,−2,1)T,求非零向量 a 3 \bold{a}_3 a3,使得 a 1 , a 2 , a 3 \bold{a_1,a_2,a_3} a1,a2,a3构成正交向量组
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解
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设 a 3 = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T \bold{a}_3=(x_1,x_2,x_3)^{T} a3=(x1,x2,x3)T
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( a 1 , a 3 ) = 0 (\bold{a_1,a_3})=0 (a1,a3)=0; ( a 2 , a 3 ) = 0 (\bold{a_2,a_3})=0 (a2,a3)=0
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容易联想到构造线性方程组 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0,其中系数矩阵 A A A为:
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A = ( a 1 T , a 2 T ) = ( 1 1 1 1 − 2 1 ) A x = ( 1 1 1 1 − 2 1 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 0 0 ) A=(\bold{a}_1^T,\bold{a}_2^T) =\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} \\ \bold{Ax} =\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} A=(a1T,a2T)=(111−211)Ax=(111−211) x1x2x3 =(00)
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解得 x 1 = − x 3 , x 2 = 0 x_1=-x_3,x_2=0 x1=−x3,x2=0;基础解系可取 ( − 1 , 0 , 1 ) T (-1,0,1)^T (−1,0,1)T
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取 a = ( − 1 , 0 , 1 ) T \bold{a}=(-1,0,1)^T a=(−1,0,1)T满足要求,其任意常数被也满足要求
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标准正交基
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设 n n n维向量 V p : e 1 , ⋯ , e r V_{p}:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_r Vp:e1,⋯,er是向量空间 V ( V ⊆ R n ) V(V\subseteq{\mathbb{R}^{n}}) V(V⊆Rn)的一个基,若 e 1 , ⋯ , e r \bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_r e1,⋯,er两两正交且都是单位向量,则 V p V_p Vp是 V V V的一个标准正交基
- 另一种描述:若向量空间 V V V的基 V p : e 1 , ⋯ , e r V_p:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_r Vp:e1,⋯,er是正交向量组且每个向量都是单位向量,则称 V p V_p Vp为 V V V标准正交基(规范正交基)
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使用Kronnecker符号描述, V p : e 1 , ⋯ , e r V_p:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_r Vp:e1,⋯,er是向量空间 V V V的基,且满足
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( e i , e j ) = δ i j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , r ) (\bold{e}_i,\bold{e}_j)=\delta_{ij} =\begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\neq{j} \end{cases} \quad(i,j=1,2,\cdots,r) (ei,ej)=δij={1,0,i=ji=j(i,j=1,2,⋯,r)
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则 V p V_p Vp是 V V V的标准正交基
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Kronecker函数
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专用符号 δ i j \delta_{ij} δij是Kronecker符号
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在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克 δ \delta δ)
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δ \delta δ 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。
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克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，
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如果两者相等，则其输出值为1.否则为0
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δ i j = δ ( i , j ) = { 1 ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) \delta _{{ij}}=\delta(i,j) =\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\! δij=δ(i,j)={10(i=j)(i=j)
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克罗内克函数的值一般简写为 δ i j \delta_{ij} δij
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克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号
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但是克罗内克δ用的时候带两个下标，
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而狄拉克δ函数则只有一个变量。
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标准正交基表示任意向量
- 若 V p : e 1 , ⋯ , e r V_p:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_r Vp:e1,⋯,er是 V V V的一个标准正交基,那么 V V V中的任意向量 a \bold{a} a能被 V p V_p Vp线性表示: a = ∑ i = 1 r λ i e i \bold{a}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\bold{e}_i a=∑i=1rλiei
- 对上式两变同时左乘 e k T \bold{e}_k^{T} ekT达到去虚留实操作的效果: e k T a \bold{e}_{k}^{T}\bold{a} ekTa= ∑ i = 1 r λ i e k T e i \sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\bold{e}_k^T\bold{e}_i ∑i=1rλiekTei= λ k e k T e k \lambda_k{\bold{e}_{k}^T\bold{e}_{k}} λkekTek= λ k ∣ ∣ e k ∣ ∣ \lambda_k||\bold{e}_k|| λk∣∣ek∣∣= λ k \lambda_k λk
- 可见, λ k , k = 1 , ⋯ , r \lambda_k,k=1,\cdots,r λk,k=1,⋯,r的计算公式为 λ k = e k T a \lambda_k=\bold{e}_k^T\bold{a} λk=ekTa= ( a , e k ) (\bold{a},\bold{e}_k) (a,ek)
- 则向量 a \bold{a} a关于基 V p V_p Vp的坐标 ( λ 1 , ⋯ , λ r ) (\lambda_1,\cdots,\lambda_r) (λ1,⋯,λr)可以方便的计算
- 因此我们在给向量空间取基的时候常取标准正交基
内积补充
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内积空间（英语：Inner product space）是数学中的线性代数里的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做**内积**或标量积。
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内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。
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内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象）
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内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space）