LA@非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组

• 本文讨论向量方程形式的非齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ (1),并记方程$(1)$的同系数矩阵的齐次线性方程组:$(1)$ (2)

导出组

• 将方程组$(1)$常数项全置为0得到$(2)$,则$(2)$是$(1)$的导出组,也称为对应的齐次线性方程组

导出组的解和被导出组的解性质

1. 设${\xi }_1,{\xi }_2$是$(1)$的两个解,则${\xi }_1-{\xi }_2$是$(2)$的解
2. 若$\xi$是$(2)$的解,则${\xi }_1+\xi$是$(1)$的解

证明

1. $\mathbf{A}{\xi }_1=\mathbf{b};\mathbf{A}{\xi }_2=\mathbf{b}$

• 显然,$A{\xi }_1-A{\xi }_2=0$
• 所以$\mathbf{A}({\xi }_1-{\xi }_2)=0$,${\xi }_1-{\xi }_2$是$(2)$的解

2. $\mathbf{A}({\xi }_1+\xi )$=$\mathbf{b}+0$,因此${\xi }_1+\xi$是$(1)$的解

非齐次线性方程组的特解

• 设${\xi }^{\ast }$是方程$(1)$的一个解,这个不能表示其他解的解称为特解

非齐次线性方程组的通解结构

• $D:{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$是$(2)$的基础解系,则${\xi }^{\ast }+\sum _i^s{k}_i{\xi }_i$是方程$(1)$的通解
  • $s=n-r$,$r=R(A)$,$n$是未知数的个数
  • 其中$k_1,\cdots ,k_s$为任意常数
• 文字描述就是:非齐次线性方程的通解等于导出组的通解加上一个非齐次线性方程组本身的一个特解

证明

• 设$(1)$的任意一个解为$x$,则$x,{\xi }^{\ast }$都是$(1)$的两个特解
  • 由性质1:$\xi =x-{\xi }^{\ast }$是$(2)$的一个解,则它可以用$D$线性表示:$\xi =\sum _i^s{k}_i{\xi }_i$
  • 所以$(1)$的任意解$x$可以表示为$x=\xi +{\xi }^{\ast }=\sum _i^s{k}_i{\xi }_i+{\xi }^{\ast }$
  • 也即是说${\xi }^{\ast }+\sum _i^s{k}_i{\xi }_i$,能够表示任何$(1)$的解,因此是$(1)$的通解

推论:导出组的解和原方程组解的关系

• 当$(1)$有解时,“$(1)$只有唯一解"的充要条件是”$(2)$只有唯一解".
• 该命题的逆否命题为:当$(1)$有解时,“$(2)$有多解"充要条件是”$(1)$具有多解"
• 证法1:
  • 充分性
    • 如果$(1)$具有多解${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots$,${\xi }_i\ne {\xi }_j,i\ne j$则$\xi ={\xi }_1-{\xi }_2$是$(2)$的解,
    • 因为${\xi }_1\ne {\xi }_2$,所以$\xi \ne 0$,因此$(2)$具有多解
  • 必要性:
    • 若$(2)$有多解:${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots$,且${\xi }^{\ast }$是$(1)$的一个特解
    • 令${\xi }_1+{\xi }^{\ast }$以及${\xi }_2+{\xi }^{\ast }$是$(1)$的两个不同的解
    • 即$(1)$有多解
• 证法2:
  • 由于$(1)$有解,所以$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=r$
  • 若$r<n$则$(1,2)$都有多解
  • 若$r=n$,则$(1,2)$都只有唯一解

求非齐次线性方程组通解的步骤

将增广矩阵化为行最简形矩阵

• 将增广矩阵$\mathbf{B}=(A|b)$在化简为行简化矩阵:$\mathbf{B}=(\mathbf{A}|\mathbf{b})$

读出特解和通解

• 从$\mathbf{B}$中读出非自由未知数关于自由未知数的表达式(通解)

• 为$n-r$个自由未知数取一组值(通常为全部取0最为方便),计算出一个(1)的一个特解

• 再由$\mathbf{B}$求出$(2)$的通解

• $(2)$的通解加上$(1)$的特解得到$(1)$的通解

例

• $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$

  • A = ( 1 − 1 0 1 − 1 2 0 1 0 − 1 3 − 1 − 1 − 1 − 1 ) ; b = ( 1 2 0 ) \bold A=\begin{pmatrix} 1& -1& 0& 1& -1 \\ 2& 0& 1& 0& -1 \\ 3& -1& -1& -1& -1 \\ \end{pmatrix}; \bold b=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{pmatrix} A= ​123​−10−1​01−1​10−1​−1−1−1​ ​;b= ​120​ ​

• 增广矩阵初等行变换为行最简形矩阵:

  • A ‾ = ( 1 − 1 0 1 − 1 1 2 0 1 0 − 1 2 3 − 1 − 1 − 1 − 1 0 ) ∼ r ( 1 0 0 − 1 2 − 1 4 1 4 0 1 0 − 3 2 3 4 − 3 4 0 0 1 1 − 1 2 3 2 ) = U \overline{A}=\begin{pmatrix} 1& -1& 0& 1& -1& 1 \\ 2& 0& 1& 0& -1& 2 \\ 3& -1& -1& -1& -1& 0 \\ \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1& 0& 0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4} \\ 0& 1& 0& -\frac{3}{2}& \frac{3}{4}& -\frac{3}{4} \\ 0& 0& 1& 1& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2} \\ \end{pmatrix} =U A= ​123​−10−1​01−1​10−1​−1−1−1​120​ ​∼r ​100​010​001​−21​−23​1​−41​43​−21​​41​−43​23​​ ​=U

• 容易看出,非自由未知数由$r=3$个,由$n-r=5-3=2$个自由未知数决定

• 为简单起见,我们将自由未知数$x_4,x_5$全部取0来求得一个特解

  • $x_1=\frac{1}{2}{x}_4+\frac{1}{4}{x}_5+\frac{1}{4}$
  • $x_2=\frac{3}{2}{x}_4-\frac{3}{4}{x}_5-\frac{3}{4}$
  • $x_3=-x_4+\frac{1}{2}{x}_5+\frac{3}{2}$
  • 走捷径就是直接构造用$U$的最后一列再追加$r$个0构造${\xi }^{\ast }$

• 从而该非齐次线性方程(1)的一个最简单特解就是

  • ξ ∗ = ( 1 4 − 3 4 3 2 0 0 ) \xi^*=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\ -\frac{3}{4}\\ \frac{3}{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} ξ∗= ​41​−43​23​00​ ​

• 再求导出组,即方程$(2)$的一个基础解系

  • $A$的行最简形矩阵$\mathbf{A}$包含在$U$中

  • A ~ = ( 1 0 0 − 1 2 − 1 4 0 1 0 − 3 2 3 4 0 0 1 1 − 1 2 ) = ( E 3 , T 3 × 2 ) \widetilde{\bold A}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{4} \\ 0& 1& 0& -\frac{3}{2}& \frac{3}{4} \\ 0& 0& 1& 1& -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} =(E_3,T_{3\times{2}}) A = ​100​010​001​−21​−23​1​−41​43​−21​​ ​=(E3​,T3×2​)

  • 因此可以立即得到$(2)$的基础解系

    • ξ 1 = ( 1 2 3 2 − 1 1 0 ) ; ξ 2 = ( 1 4 − 3 4 1 2 0 1 ) \xi_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\ -\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} ξ1​= ​21​23​−110​ ​;ξ2​= ​41​−43​21​01​ ​

  • 因此$(1)$的通解为:

    • $$\begin{gathered} \xi ={\xi }^{\ast }+\sum _{i=1}^2{k}_i{\xi }_i \\ {k}_i(i=1,2)为任意常数 \end{gathered}$$

  • 实际上为例书写紧凑,可以写成行向量转置的形式:

    • $$\begin{gathered} ({\xi }_1,{\xi }_2)=(-T^T,E{)}^T={\left(\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}& \frac{3}{2}& -1& 1& 0\\ \frac{1}{4}& -\frac{3}{4}& \frac{1}{2}& 0& 1\end{array}\right)}^T \\ {\xi }_1=(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-1,1,0{)}^T \\ {\xi }_2=(\frac{1}{4},-\frac{3}{4},\frac{1}{2},0,1{)}^T \end{gathered}$$

例

• 设$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$的增广矩阵为$B$
  B = ( 1 − 1 − 1 1 0 1 − 1 1 − 3 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2 ) ∼ r ( 1 − 1 0 − 1 1 2 0 0 1 − 2 1 2 0 0 0 0 0 ) = U B=\begin{pmatrix} 1&-1&-1&1&0\\ 1&-1&1&-3&1\\ 1&-1&-2&3&-\frac{1}{2} \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1&-1&0&-1&\frac{1}{2}\\ 0&0&1&-2&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}=U B= ​111​−1−1−1​−11−2​1−33​01−21​​ ​∼r ​100​−100​010​−1−20​21​21​0​ ​=U

• 可以看到行最简形矩阵$U$不是强化行最简的

• 非自由未知数包含$r=2$个,自由未知数包含$n-r=4-2=2$个

• 比较推荐的做法是将第$1,3$列(都是$n$单位坐标列向量)对应的未知数作为非自由未知数,这样容易被其他自由未知数表达

  • $x_1=x_2+x_4+\frac{1}{2}$
  • $x_3=2x_4+\frac{1}{2}$

• 取$x_2=x_4=0$构造$(1)$的特解

  • ξ ∗ = ( 1 2 0 1 2 0 ) \xi^*=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix} ξ∗= ​21​021​0​ ​

• 导出组的基础解系:

  • $x_1=x_2+x_4$

  • $x_3=2x_4$

  • ξ 1 = ( 1 1 0 0 ) ξ 2 = ( 1 0 2 1 ) \xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} ξ1​= ​1100​ ​ξ2​= ​1021​ ​

• (2)的通解为${\xi }^{\ast }+{\sum }_{i=1}^2{k}_i{\xi }_i$,$k_i\in \mathbb{R}$