排序算法：堆排序

        数组、链表都是一维的数据结构，相对来说比较容易理解，而堆是二维的数据结构，对抽象思维的要求更高，所以许多程序员「谈堆色变」。但堆又是数据结构进阶必经的一步，我们不妨静下心来，将其梳理清楚。

堆：符合以下两个条件之一的完全二叉树：

• 根节点的值 ≥ 子节点的值，这样的堆被称之为最大堆，或大顶堆；
• 根节点的值 ≤ 子节点的值，这样的堆被称之为最小堆，或小顶堆。

       为了有一个轻松的开场，我们先来看一个程序员的段子放松一下：

你有哪些用计算机技能解决生活问题的经历？

我认识一个大牛，他不喜欢洗袜子，又不喜欢袜子的臭味。于是他买了很多样式一样的袜子，把这些袜子放在地上，根据臭的程度，摆一个二叉堆。每天早上，他 pop 两只最“香”的袜子，穿上；晚上回到家，把袜子脱下来，push 到堆里。某一天，top 的袜子超过他的耐臭能力，全扔掉，买新的。

        如果我们将袜子 「臭的程度」 量化，这位大牛每天做的事情就是构建一个大顶堆，然后将堆顶的袜子取出来。再调整剩下的袜子，构建出一个新的大顶堆，再次取出堆顶的袜子。这个过程使用的就是堆排序的思想，它是由 J. W. J. Williams 在1964 年发明的。

堆排序过程如下：

• 用数列构建出一个大顶堆，取出堆顶的数字；
• 调整剩余的数字，构建出新的大顶堆，再次取出堆顶的数字；
• 循环往复，完成整个排序。

整体的思路就是这么简单，我们需要解决的问题有两个：

• 如何用数列构建出一个大顶堆；
• 取出堆顶的数字后，如何将剩余的数字调整成新的大顶堆。

构建大顶堆 & 调整堆

构建大顶堆有两种方式：

• 方案一：从 0 开始，将每个数字依次插入堆中，一边插入，一边调整堆的结构，使其满足大顶堆的要求；
• 方案二：将整个数列的初始状态视作一棵完全二叉树，自底向上调整树的结构，使其满足大顶堆的要求。

 在介绍堆排序具体实现之前，我们先要了解完全二叉树的几个性质。将根节点的下标视为 0，则完全二叉树有如下性质：

• 对于完全二叉树中的第 i 个数，它的左子节点下标：left = 2i + 1
• 对于完全二叉树中的第 i 个数，它的右子节点下标：right = left + 1
• 对于有 n 个元素的完全二叉树(n≥2)，它的最后一个非叶子结点的下标：n/2 - 1

堆排序代码如下：

public static void heapSort(int[] arr) {
    // 构建初始大顶堆
    buildMaxHeap(arr);
    for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
        // 将最大值交换到数组最后
        swap(arr, 0, i);
        // 调整剩余数组，使其满足大顶堆
        maxHeapify(arr, 0, i);
    }
}
// 构建初始大顶堆
private static void buildMaxHeap(int[] arr) {
    // 从最后一个非叶子结点开始调整大顶堆，最后一个非叶子结点的下标就是 arr.length / 2-1
    for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        maxHeapify(arr, i, arr.length);
    }
}
// 调整大顶堆，第三个参数表示剩余未排序的数字的数量，也就是剩余堆的大小
private static void maxHeapify(int[] arr, int i, int heapSize) {
    // 左子结点下标
    int l = 2 * i + 1;
    // 右子结点下标
    int r = l + 1;
    // 记录根结点、左子树结点、右子树结点三者中的最大值下标
    int largest = i;
    // 与左子树结点比较
    if (l < heapSize && arr[l] > arr[largest]) {
        largest = l;
    }
    // 与右子树结点比较
    if (r < heapSize && arr[r] > arr[largest]) {
        largest = r;
    }
    if (largest != i) {
        // 将最大值交换为根结点
        swap(arr, i, largest);
        // 再次调整交换数字后的大顶堆
        maxHeapify(arr, largest, heapSize);
    }
}
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

        堆排序的第一步就是构建大顶堆，对应代码中的 buildMaxHeap 函数。我们将数组视作一颗完全二叉树，从它的最后一个非叶子结点开始，调整此结点和其左右子树，使这三个数字构成一个大顶堆。

        调整过程由 maxHeapify 函数处理， maxHeapify 函数记录了最大值的下标，根结点和其左右子树结点在经过比较之后，将最大值交换到根结点位置。这样，这三个数字就构成了一个大顶堆。

        需要注意的是，如果根结点和左右子树结点任何一个数字发生了交换，则还需要保证调整后的子树仍然是大顶堆，所以子树会执行一个递归的调整过程。

        这里的递归比较难理解，我们打个比方：构建大顶堆的过程就是一堆数字比赛谁更大。比赛过程分为初赛、复赛、决赛，每场比赛都是三人参加。但不是所有人都会参加初赛，只有叶子结点和第一批非叶子结点会进行三人组初赛。初赛的冠军站到三人组的根结点位置，然后继续参加后面的复赛。

        而有的人生来就在上层，比如李小胖，它出生在数列的第一个位置上，是二叉树的根结点，当其他结点进行初赛、复赛时，它就静静躺在根结点的位置等一场决赛。

        当王大强和张壮壮，经历了重重比拼来到了李小胖的左右子树结点位置。他们三个人开始决赛。王大强和张壮壮是靠实打实的实力打上来的，他们已经确认过自己是小组最强。而李小胖之前一直躺在这里等决赛。如果李小胖赢了他们两个，说明李小胖是所有小组里最强的，毋庸置疑，他可以继续坐在冠军宝座。

        但李小胖如果输给了其中任何一个人，比如输给了王大强。王大强会和张壮壮对决，选出本次构建大顶堆的冠军。但李小胖能够坐享其成获得第三名吗？生活中或许会有这样的黑幕，但程序不会欺骗我们。李小胖跌落神坛之后，就要从王大强的打拼路线回去，继续向下比较，找到自己真正实力所在的真实位置。这就是 maxHeapify 中会继续递归调用 maxHeapify 的原因。

        当构建出大顶堆之后，就要把冠军交换到数列最后，深藏功与名。来到冠军宝座的新人又要和李小胖一样，开始向下比较，找到自己的真实位置，使得剩下的 n−1 个数字构建成新的大顶堆。这就是 heapSort 方法的 for 循环中，调用 maxHeapify 的原因。

        变量 heapSize 用来记录还剩下多少个数字没有排序完成，每当交换了一个堆顶的数字，heapSize 就会减 1。在 maxHeapify 方法中，使用 heapSize 来限制剩下的选手，不要和已经躺在数组最后，当过冠军的人比较，免得被暴揍。

        这就是堆排序的思想。学习时我们采用的是最简单的代码实现，在熟练掌握了之后我们就可以加一些小技巧以获得更高的效率。比如我们知道计算机采用二进制来存储数据，数字左移一位表示乘以 2，右移一位表示除以 2。所以堆排序代码中的arr.length / 2 - 1 可以修改为 (arr.length >> 1) - 1，左子结点下标2 * i + 1可以修改为(i << 1) + 1。需要注意的是，位运算符的优先级比加减运算的优先级低，所以必须给位运算过程加上括号。

注：在有的文章中，作者将堆的根节点下标视为 1，这样做的好处是使得第 i 个结点的左子结点下标为 2i，右子结点下标为 2i + 1，与 2i + 1 和 2i + 2 相比，计算量会少一点，本文未采取这种实现，但两种实现思路的核心思想都是一致的。

分析可知，堆排序是不稳定的排序算法。

 

时间复杂度 & 空间复杂度

        堆排序分为两个阶段：初始化建堆（buildMaxHeap）和重建堆（maxHeapify，直译为大顶堆化）。所以时间复杂度要从这两个方面分析。

        根据数学运算可以推导出初始化建堆的时间复杂度为 O(n)，重建堆的时间复杂度为 O(nlogn)，所以堆排序总的时间复杂度为 O(nlogn)。推导过程较为复杂，故不再给出证明过程。

        堆排序的空间复杂度为 O(1)，只需要常数级的临时变量。

        堆排序是一个优秀的排序算法，但是在实际应用中，快速排序的性能一般会优于堆排序。