线性变换与二维空间与矩阵

参考视频：
https://www.bilibili.com/video/av6025713
https://www.bilibili.com/video/av6043439
https://www.bilibili.com/video/av6128021/?spm_id_from=trigger_reload

一.线性变换

1. 数学概念：

严格意义上，线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数。

2. 但我们可以将线性变换看作对空间的挤压伸展：

如果一个变换具有以下两条性质，我们称它是线性的：

• 直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲
• 原点必须保持固定
  你可以把线性变换看作是"保持网格线平行并等距分布"的变换

二.如何记录一次线性变换？

问题：
你应该给计算机什么样的计算公式，使得你给它一个向量的坐标，它能给你变换后向量的坐标呢

答案：
你只需要记录两个基向量，也就是i和j（变换后）的位置，其他向量回随之而动

三.矩阵

一个二维的线性变换仅由四个数字完全确定：变换后i的两个坐标与变换后j的两个坐标
通常我们将这些坐标包装在一个22的格子中，称为22矩阵

如果你有一个描述线性变换的2*2矩阵，以及一个给定向量，你想了解线性变换对这个向量的作用，你只需要取出向量的坐标，将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可

四.二维空间变换的应用

用矩阵描述一些线性变换：

• 将整个二维空间逆时针旋转90度：

• 剪切：

• 列线性相关：
  

  如果变换后的i和j是线性相关的，意为着其中一个向量是另一个的倍数那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在一条直线上，也就是这两个线性相关向量所张成的一维空间

五.复合变换

如果你有一个向量，将它进行旋转后剪切，一种计算方式是先旋转在剪切，另一种是复合变换，结果一样：

六. 复合变换和矩阵

复合矩阵第一列的值就是左侧矩阵与右侧矩阵第一列的乘积：

类似的，j首先落在右侧矩阵第二列所代表的位置上，然后左侧矩阵与这一列相乘就能得到j的最终位置：

最终的结果：