2021-05-24-01
（本题来源：中等数学 2021年第3期 P11 解题小品——水落石出 陶平生）
试确定所有具有如下性质的六位数:
(1)仍为六位数;
(2)每个六位数的六个数字仍是数的六个数字(仅排列顺序不同).
解法一
设,记.
(i)对于任意的正整数,用表示的数字之和.
由,,得
.
(ii)六个数的首位数字必定互异.
假设与()的首位数字相同,则的首位数字为,即是小于六位数,但,即是之中的一个数,据条件,知其应为六位数,矛盾.
由于每个首位数字皆属于集合,于是,这六个首位数字恰构成集合.从而,的各位数字互不相同,且不含.
(iii)六个数的末位数字也各不相同.
假设与()的末位数字相同,则的末位数字为,而是之中的一个数,也中不含矛盾.
(iv)的末位数字必定是奇数.
假设的末位数字必定是偶数,则的末位数字为,矛盾.
(v)的末位数.
假设的末位数,则的末位数字为,矛盾.
(vi)的首位数.
假设的首位数字,则,将成为七位数,矛盾.同时.
于是.
当时,则六个数的末位数字分别为,所以,此时不是的倍数,矛盾.
当时,则六个数的末位数字分别为,所以,此时不是的倍数,矛盾.
因此,只有,此时六个数的末位数字分别为,所以,
由前所述,得,即.
又的首位数字应为中各数的递增排列,故依次为.
若,则的首位字数将大于,矛盾.故.
若,则,此时,的首位数字不大于,矛盾.
于是,只有,得.
从而,.
若,即,此时,的十位数字为,而,矛盾.
若,即,此时,的十位数字为,而,矛盾.
因此,只有,进而,,其中,.此时,只有或两种情况.
若,则,而数字.
于是,本题的六位数只有唯一可能.
容易验证,它满足本题中的条件.
解法二
设,记.
(i)六个数的首位数字必定互异.
假设与()的首位数字相同,则的首位数字为,即是小于六位数,但,即是之中的一个数,据条件,知其应为六位数,矛盾.
由于每个首位数字皆属于集合,于是,这六个首位数字恰构成集合.从而,的各位数字互不相同,且不含.
(ii)六个数的末位数字也各不相同.
假设与()的末位数字相同,则的末位数字为,而是之中的一个数,也中不含矛盾.
(iii)的末位数字必定是奇数.
假设的末位数字必定是偶数,则的末位数字为,矛盾.
(iv)的末位数.
假设的末位数,则的末位数字为,矛盾.
(v)的首位数.
假设的首位数字,则,将成为七位数,矛盾.同时.
于是.
当时,则六个数的末位数字分别为,所以,,矛盾.
当时,则六个数的末位数字分别为,,矛盾.
所以,只有,,即.
又的首位数字应为中各数的递增排列,故依次为.
若,则的首位字数将大于,矛盾.故.
若,则,此时,的首位数字不大于,矛盾.
于是,只有,得.
从而,.
若,即,此时,的十位数字为,而,矛盾.
若,即,此时,的十位数字为,而,矛盾.
因此,只有,进而,,其中,.此时,只有或两种情况.
若,则,而数字.
于是,本题的六位数只有唯一可能.
容易验证,它满足本题中的条件.