【数据结构与算法篇】手撕八大排序算法之交换排序
内容专栏： 《数据结构与算法篇》
本文概括：常见交换排序包括冒泡排序与快速排序，本篇讲述冒泡排序与快速排序的思想及实现、复杂度分析。
本文作者： 花 蝶
发布时间：2023.8.27
一、冒泡排序
基本思想
冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法，其基本思想是通过两两交换相邻元素的位置，使得较大（或较小）的元素逐步“冒泡”到数组的一端（顶部或底部），重复“冒泡”的过程，直到序列没有要交换的元素为止，从而实现排序。
算法步骤：
1、 从数组的起始位置开始，依次比较相邻的两个元素。如果相邻元素的顺序错误（前者大于后者，或者前者小于后者，取决于是升序还是降序排序），则交换这两个元素的位置；
2、继续进行相邻元素的比较和交换，直到遍历到数组的末尾。这样一轮下来，最大（或最小）的元素就会“冒泡”到数组的一端。
3、重复上述步骤，但不再考虑已经排序好的末尾部分。每一轮操作都会将一个最大（或最小）的元素移到正确的位置。
4、 经过多轮的比较和交换，最终整个数组会变得有序。如果在某一轮没有进行任何交换操作时，说明数组已经有序，可以直接跳出循环。
动图演示
代码实现
//冒泡排序
//时间复杂度：O(N^2)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
//控制冒泡排序的趟数
for(int i = 0; i < n - 1; i++)
{
//假设数组有序
int flag = 1;
//控制每趟的过程
for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++)
{
if (a[j] > a[j + 1])
{
Swap(&a[j], &a[j + 1]);
flag = 0;
}
}
//说明没有发生交换，数组已经有序，跳出循环即可
if (flag == 1) break;
}
}
冒泡排序的特性
冒泡排序的核心思想就是通过反复比较相邻元素并交换它们的位置，从而逐步将最大（或最小）的元素移动到合适的位置。尽管冒泡排序的时间复杂度较高（平均和最坏情况下都是
O(N^2)，可以看作是一个等差数列的求和)，但它的实现相对简单，适用于小规模的数据集，因此具有较强的教学意义，想必大家在刚开始学习编程时学的一个排序就是冒泡排序吧哈哈。
二、快速排序（递归版本）
快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
//快排(递归版本)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
if (begin >= end) return;
int keyi = Partition(a, begin, end);
//前序遍历
//递归基准值左边的区间
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
//递归基准值右边的区间
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
上述为快速排序递归实现的主框架，发现与二叉树前序遍历规则非常像，大家在写递归框架时可想想二叉树前序遍历规则即可快速写出来，后续只需分析如何按照基准值来对区间中数据进行划分的方式即可。
下面用三个版本实现：hoare版本、挖坑法、前后指针法
1.hoare版本
1、选择基准元素
key，通常是数组中的第一个元素。
2、使用两个指针L和R，一个指向数组的开头（较小值的区域），一个指向数组的末尾（较大值的区域）。
3、交换的目标是L找到比基准大的元素，R找到比基准小的元素。不断交换指针所指的元素，直到两个指针相遇。
4、当两个指针相遇时，交换基准元素与当前相遇位置的元素，此时数组被划分为左右两个子数组。
5、对左右两个子数组递归地应用相同的分区步骤，直到所有子数组都有序
算法分析：
①：原始序列
②：right向前移动，找比key小的位置，left往后移动找比key大的位置，然后交换。
③：继续往后寻找，直到两个指针相遇。
④：交换基准元素与当前相遇位置的元素。
⑤：这样子我们发现基准值左边的区间里面的元素都比基准值小，右边的区间里面的元素都比基准值大。我们可以按照前序遍历的思想对左边区间进行递归操作，右边区间也进行递归操作。
代码实现
//hoare版本
int Partition1(int* a, int left, int right)
{
int keyi = left;
while (left < right)
{
//注意： 要加上left < right 否则会出现越界
//若不判断等于基准值，也会出现死循环的情况
//右边找小
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
right--;
}
//左边找大
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
left++;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
Swap(&a[left], &a[keyi]);
return left;
}
//快排(递归版本)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
//当区间不存在或者只剩一个元素，就回溯
if (begin >= end) return;
int keyi = Partition1(a, begin, end);
//前序遍历
//递归基准值左边的区间
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
//递归基准值右边的区间
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
2.挖坑法
挖坑法的基本思想是：
- 1、首先，选择一个基准元素（通常是数组中的第一个元素）作为“坑”(
hole)。前提需要将这个基准元素用一个临时变量key存起来。- 2、将基准元素挖出，形成一个空位（坑）。
- 3、从数组的另一端开始，从右向左遍历，找到一个比基准元素小的元素，然后将这个元素填入之前的坑中。
- 4、继续从左向右遍历，找到一个比基准元素大的元素，然后将这个元素填入上一步的坑中。
- 5、重复执行步骤 3 和步骤 4，直到左右指针相遇。
- 6、此时，基准元素的位置就是这个相遇的位置，将基准元素填入这个坑中。
算法分析：
①：原始序列
②：将基准值存放到临时变量key中，形成一个坑位。
③：从右向左遍历，R找到比基准值小的元素，将这个元素填入到之前的坑中，此时当前位置就形成了新坑。
④：紧接着，从左往右遍历，L寻找比基准值大的元素，将这个元素填入到上一步的坑中，此时当前位置形成了新坑。
⑤：重复以上步骤后，直到左右指针相遇，最后会形成一个坑，将临时变量放入坑中。
⑥：这样子我们发现基准值左边的区间里面的元素都比基准值小，右边的区间里面的元素都比基准值大。我们可以按照前序遍历的思想对左边区间进行递归操作，右边区间也进行递归操作。
代码实现
//挖坑法
int Partition2(int* a, int left, int right)
{
int key = a[left];
//挖坑
int hole = left;
while (left < right)
{
//右边找小
while (left < right && a[right] >= key)
{
right--;
}
a[hole] = a[right];
hole = right;
//左边找大
while (left < right && a[left] <= key)
{
left++;
}
a[hole] = a[left];
hole = left;
}
a[hole] = key;
return hole;
}
//快排(递归版本)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
//当区间不存在或者只剩一个元素，就回溯
if (begin >= end) return;
int keyi = Partition2(a, begin, end);
//前序遍历
//递归基准值左边的区间
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
//递归基准值右边的区间
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
3.前后指针法
基本思想：在快速排序的划分过程中，使用前后指针法来确定基准元素的位置，最后将数组划分成两部分，一部分小于基准元素，另一部分大于基准元素。
- 1、首先，选择一个基准元素
key(通常是数组中的第一个元素)。- 2、使用两个指针，
prev指向数组的开头，cur指向prev的后一个位置。- 3、判断
cur指向的数据是否小于key。若小于，则prev后移一位，cur指向的内容与prev指向的内容交换，然后cur++- 4、若
cur指向的数据大于key，则cur++- 重复步骤3和步骤4，直到
cur指针走完(最后一个元素的下一个位置)- 最后，将
key与prev指向的元素交换。
动图演示
//前后指针法
int Partition3(int* a, int left, int right)
{
int prev = left;
int cur = prev + 1;
int keyi = left;
//cur小于key，交换++prev与cur的位置
//将大的位置翻滚时往后挪动，小的位置移动前面
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)
{
Swap(&a[cur], &a[prev]);
}
cur++;
}
//将key与prev指向的元素交换。
Swap(&a[prev], &a[keyi]);
return prev;
}
//快排(递归版本)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
//当区间不存在或者只剩一个元素，就回溯
if (begin >= end) return;
int keyi = Partition3(a, begin, end);
//前序遍历
//递归基准值左边的区间
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
//递归基准值右边的区间
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
快速排序(递归版本)的特性
时间复杂度
选择基准元素影响时间复杂度：若基准元素key偏向于所有元素中的中位数，则时间复杂度处于较好的情况，若基准元素key是所有元素中最小的，或者接近最小值，那么时间复杂度就处于较坏的情况。
- 平均情况下的时间复杂度： 在平均情况下，快速排序的时间复杂度为 O(n log n)。这是因为在每次分区过程中，数组会被划分成大致相等的两部分。在每次递归中，都会将问题的规模减半，递归的展开图可以看作是一颗满二叉树，所以递归的深度为
O(log n)，每层递归的分区操作都需要 O(n) 的时间，因此总的时间复杂度为O(n*log n)- 最坏情况下的时间复杂度： 在最坏情况下，快速排序的时间复杂度为 O(n^2)。这种情况发生在每次划分后，一个子数组为空，另一个子数组包含所有的元素。这样会导致递归树变得很不平衡，每次递归的问题规模只减少一个元素。虽然快速排序通常能够避免这种情况，但在某些情况下（例如已经有序的数组），最坏情况可能出现。
解决方案
- 随机数选择基准元素： 在每次划分时，随机选择一个基准元素，这可以减少最坏情况的发生概率。
- 三数取中法： 在选择基准元素时，不仅考虑第一个和最后一个元素，还考虑数组中间位置的元素，选择其中值大小居中的元素作为基准。
这里提供一种三数取中的方法，以hoare版本为例:
//三数取中，返回下标
int GetMidIndex(int* a, int left, int right)
{
int mid = (left + right) >> 1;
if (a[left] < a[mid])
{
if (a[mid] < a[right]) return mid;
else if (a[left] > a[right]) return left;
else return mid;
}
else //a[left] > a[mid]
{
if (a[mid] > a[right]) return mid;
else if (a[right] > a[left]) return left;
else return right;
}
}
//hoare版本
int Partition1(int* a, int left, int right)
{
//将中位数与数组的第一个元素(基准值)进行交换
int midi = GetMidIndex(a, left, right);
Swap(&a[left], &a[midi]);
int keyi = left;
while (left < right)
{
//右边找小
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
right--;
}
//左边找大
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
left++;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
Swap(&a[left], &a[keyi]);
return left;
}
后面会更新快排的非递归版本……可到数据结构专栏查看
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