第七章，相似矩阵及其应用，4-化二次型为标准型

玩转线性代数(39)化二次型为标准型的笔记，相关证明以及例子见原文

任意二次型都可以经过可逆线性变换x=Cy化成只含有平方项的形式，即标准形。

正交变换法

此方法只适用于化实二次型为标准形，且利用实二次型的实对称矩阵的特征值及特征向量．

定理

任给二次型$f={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{T}Ax(a_{ij}=a_{ji})$，总有正交变换$x=Py$，使f化为标准型$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n$是f的矩阵$A=(a_{ij})$的特征值。

正交变换法的步骤

1. 将二次型表示成矩阵形式$f=x^{T}Ax$，求出A；
2. 求出A的所有特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n$；
3. 求出对应于特征值的特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$；
4. 将特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$先正交化，得${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$，再单位化得$p_1,p_2,...,p_n$，记$C=(p_1,p_2,...,p_n)$；
5. 作正交变换$x=Cy$，则得f的标准形$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$。

主轴

设A是一个n阶矩阵，那么存在一个正交变换$x=Py$，它将二次型$x^{T}Ax$变换为不含混乘项的二次型$y^{T}Dy$ ，P的列称为二次型$x^{T}Ax$的主轴，向量y是向量x在由这些主轴构造的$R^n$空间的单位正交基下的坐标向量。找到主轴（由A的特征向量确定）等同于找到一个新的坐标系统，在该坐标系统下其图形是在标准位置下的图形。

配方法

通过观察对各项进行配方，实质就是运用非退化的线性变换消去交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和平方差公式逐步地消去非平方项并构造新的平方项。

1. 若二次型含有$x_i$的平方项，那么先把含有$x_i$的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性变换，就将二次型化为了标准形。
2. 如果所给二次型中不含有$x_i$平方项，但是$a_{ij}\ne 0(i\ne j)$，可以先构造出平方项
   $$\{\begin{array}{rl}{x}_i& =y_i-y_j\\ x_j& =y_i+y_j\\ & \cdots \\ x_k& =y_k\end{array}(k=1,2,...,n且k\ne i,j)$$
   代入到原二次型中，这时就含有平方项，可以按1中的方法进行配方了。

小结：若要求找一个正交矩阵, 应使用正交变换法；若只需找一个可逆的线性变换， 那么各种方法都可使用．正交变换法的好处是有固定的步骤, 但计算量通常较大；若二次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法比较简单．当然用不同的配方法也可以得到某些形式的平方和，但要注意这些线性变换不一定可逆，所以虽然是平方和的形式，但不是标准形．我们讨论的标准形都是使用可逆的线性变换变换而来．

值得注意的是: 使用不同的方法, 所得到的标准形可能不同, 但标准形中含有的项数必相同, 因为项数实际上就是二次型的矩阵的秩，合同矩阵的秩是相等的，也就是二次型的秩不变.