（十 三）特殊的二阶张量——反对称张量

1. 反对称二阶张量的概念

定义 若仿射量 $\mathbf{\Omega }$ 满足：
$${\mathbf{\Omega }}^T=-\mathbf{\Omega }$$
则称仿射量 $\mathbf{\Omega }$为反对称二阶张量（反称仿射量）。

2. 反对称二阶张量的主不变量

由于张量的主不变量不随坐标系的改变而改变，另外在笛卡尔坐标系中反对称张量$\mathbf{\Omega }$的矩阵为反对称矩阵，记作：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& {\Omega }_1& {\Omega }_2\\ & & \\ -{\Omega }_1& 0& {\Omega }_3\\ & & \\ -{\Omega }_2& -{\Omega }_3& 0\end{array}\right]$$
那么，
$$\{\begin{array}{l}{\mathcal{C}}_1^{\Omega }=0\\ \\ {\mathcal{C}}_2^{\Omega }={\Omega }_1^2+{\Omega }_2^2+{\Omega }_3^2\triangleq {\phi }^2>0\\ \\ {\mathcal{C}}_3^{\Omega }=0\times (0+{\Omega }_3^2)-(-{\Omega }_1)\times (0+{\Omega }_3{\Omega }_2)+(-{\Omega }_2)\times ({\Omega }_1{\Omega }_3-0)=0\end{array}$$

3. 反对称二阶张量的特征值与特征向量

反对称二阶张量$\mathbf{\Omega }$的特征方程为：
$${\lambda }^3-{\mathcal{C}}_1^{\Omega }{\lambda }^2+{\mathcal{C}}_2^{\Omega }\lambda -{\mathcal{C}}_3^{\Omega }=({\lambda }^2+{\phi }^2)\lambda =0$$
因此，反对称二阶张量的特征值为:
$${\lambda }_1=i\phi 、{\lambda }_2=-i\phi 、{\lambda }_3=0$$
故，反对称张量的特征值由零与一对共轭纯虚数构成，虚部为反称仿射量第二主不变量的算术平方根。 又
$$\begin{gathered} ({\lambda }_1{u}_1)\bullet u_3=\Omega \bullet u_1\bullet u_3=-u_1\bullet \Omega \bullet u_3=-{\lambda }_3{u}_1\bullet u_3⟹({\lambda }_1+{\lambda }_3)u_1\bullet u_3=0⟹u_1\bullet u_3=0 \\ ({\lambda }_2{u}_2)\bullet u_3=\Omega \bullet u_2\bullet u_3=-u_2\bullet \Omega \bullet u_3=-{\lambda }_3{u}_2\bullet u_3⟹({\lambda }_2+{\lambda }_3)u_2\bullet u_3=0⟹u_2\bullet u_3=0 \end{gathered}$$
则，反对称二阶张量的实特征向量与共轭的复特征向量分别正交，即$$u_3\bullet u_1=u_3\bullet u_2=0$$
定义 将实特征值 ${\lambda }_3$ 特征方向$u_3$上的单位矢量$e_3$ 称作 反对称张量$\Omega$的轴。由于$$\Omega \bullet u_3=0⟹\Omega \bullet e_3=\Omega \bullet \frac{u_3}{|u_3|}=0$$故，反对称张量将其轴方向上的任何向量映射为零向量。

4. 反对称二阶张量的标准形

• 若以反对称张量的三个线性无关的特征向量为基，则有：
  $$\mathbf{\Omega }=(i\phi )u_1{u}^1-(i\phi )u_2{u}^2$$
• 若按照一般的处理方式由复数对角标准形得到实数标准形，取
  $$\{\begin{array}{l}{g}_1=u_1+u_2\\ \\ g_2=i(u_1-u_2)\\ \\ g_3=e_3\end{array}$$
  则有：
  $$\mathbf{\Omega }=-\phi g_1{g}^2+\phi g_2{g}^1$$
  值得注意的是，反对称张量实数化标准形所参考的基$\{g_1、g_2、g_3\}$具有正交性，因为根据反对称张量实特征向量与复特征向量之间的正交性知：
  $$\begin{gathered} g_3\bullet g_1=\frac{u_3}{|u_3|}\bullet (u_1+u_2)=0(a) \\ {g}_3\bullet g_2=i\frac{u_3}{|u_3|}\bullet (u_1-u_2)=0(b) \end{gathered}$$
  此外，由于对于任意向量$x$，向量 $\mathbf{\Omega }\bullet x$ 或 $x\bullet \mathbf{\Omega }$均与其正交，即$$x\bullet \mathbf{\Omega }\bullet x=x^i{\Omega }_{ij}{x}^j=x^j{\Omega }_{ji}{x}^i=-x^j{\Omega }_{ij}{x}^i⟹x^i{\Omega }_{ij}{x}^j=x\bullet \mathbf{\Omega }\bullet x=0$$
  那么：
  $$g_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet g_1=g_1\bullet (-\phi g_1{g}^2+\phi g_2{g}^1)\bullet g_1=\phi g_1\bullet g_2=0⟹g_1\bullet g_2=0(c)$$
  另外,
  $$\begin{gathered} g_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet g_2=-\phi g_1\bullet g_1 \\ {g}_2\bullet \mathbf{\Omega }\bullet g_1=\phi g_2\bullet g_2 \\ {g}_1\bullet \mathbf{\Omega }\bullet g_2=(\mathbf{\Omega }\bullet g_2)\bullet g_1=-g_2\bullet \mathbf{\Omega }\bullet g_1 \end{gathered}$$
  这说明：
  $$|g_1|=|g_2|(d)$$
• 实际上，在标准正交基$\{e_1,e_2,e_3\}$（$e_1,e_2$为$g_1$、$g_2$所张成平面内的任意相互正交的两个单位向量）反对称二阶张量$\mathbf{\Omega }$均可展开为：$$\mathbf{\Omega }=-\phi e_1{e}_2+\phi e_2{e}_1$$下面进行相关说明：
  

在垂直于$e_3$的平面内任意选择两互相正交的单位矢量 $e_1$、$e_2$，并以$e_1$、$e_2$、$e_3$为一组新基，那么逆变转换系数为：$$[{\beta }_j^{i^{\prime }}]=\left[\begin{array}{ccc}|g_1|cos\alpha & -|g_2|sin\alpha & 0\\ & & \\ |g_1|sin\alpha & |g_2|cos\alpha & 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$协变转换系数矩阵：$$[{\beta }_{i^{\prime }}^j]=[{\beta }_j^{i^{\prime }}{]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{|g_2|cos\alpha }{|g_1||g_2|}& \frac{|g_2|sin\alpha }{|g_1||g_2|}& 0\\ & & \\ \frac{-|g_1|sin\alpha }{|g_1||g_2|}& \frac{|g_1|cos\alpha }{|g_1||g_2|}& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$那么根据坐标转换关系，在新基中反对称张量的分量为：$$[{\Omega }_{\bullet n^{\prime }}^{m^{\prime }}]=\left[\begin{array}{ccc}|g_1|cos\alpha & -|g_2|sin\alpha & 0\\ & & \\ |g_1|sin\alpha & |g_2|cos\alpha & 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -\phi & 0\\ & & \\ \phi & 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{|g_2|cos\alpha }{|g_1||g_2|}& \frac{|g_2|sin\alpha }{|g_1||g_2|}& 0\\ & & \\ \frac{-|g_1|sin\alpha }{|g_1||g_2|}& \frac{|g_1|cos\alpha }{|g_1||g_2|}& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -\phi & 0\\ & & \\ \phi & 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$可见，在所选的新标准正交基$\{e_1,e_2,e_3\}$中各分量与原来的正交基$\{g_1,g_2,g_3\}$中相同。（证毕）

4. 反偶矢量

定义
$$\omega =-\frac{1}{2}ϵ:\mathbf{\Omega }=-\frac{1}{2}\mathbf{\Omega }:ϵ$$
称 $\omega$ 为反对称二阶张量 $\mathbf{\Omega }$ 的反偶矢量，或 $-\omega$与 $\mathbf{\Omega }$ 互为对偶。

按照定义：$$\omega =-\frac{1}{2}ϵ:(-\phi e_1{e}_2+\phi e_2{e}_1)=\frac{1}{2}\phi (e_1\times e_2-e_2\times e_1)=\phi e_3$$说明，对偶矢量沿反对称张量的轴向，大小为 $\phi =\sqrt{{\mathcal{C}}_2^{\Omega }}$。

另外反对称张量可由其对偶矢量得到，证明如下：$${\omega }_k{g}^k=-\frac{1}{2}ϵ:{\Omega }^{ij}{g}_i{g}_j=-\frac{1}{2}(g_i\times g_j){\Omega }^{ij}=-\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{\Omega }^{ij}{g}^k$$则$$-ϵ\bullet \omega ={ϵ}^{pql}{g}_p{g}_q{g}_l\bullet \frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{\Omega }^{ij}{g}^k=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijl}{ϵ}^{pql}{\Omega }^{ij}{g}_p{g}_q=\frac{1}{2}({\delta }_i^p{\delta }_j^q-{\delta }_j^p{\delta }_i^q){\Omega }^{ij}{g}_p{g}_q=\frac{1}{2}(\mathbf{\Omega }-{\mathbf{\Omega }}^T)=\mathbf{\Omega }$$这意味着反对称张量只用给出其反偶矢量便可得到其所有的信息。

5. 反对称二阶张量对应的线性变换

由于$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\Omega }\bullet u=(-ϵ\bullet \omega )\bullet u=-ϵ:(u\omega )=-u\times \omega =\omega \times u\\ & \\ & u\bullet \mathbf{\Omega }=u\bullet (-ϵ\bullet \omega )=-u^i{ϵ}_{ijk}{w}^k{g}^j=u^i{w}^k{ϵ}_{ikj}{g}^j=u\times \omega \end{array}$$这说明反对称张量将任意向量 $u$ 映射为其对偶矢量与该向量的叉积。另外从几何上对反对称二阶张量定义的线性变换进行说明：

对于任意向量 $u=u_1{e}_1+u_2{e}_2+u_3{e}_3$ 有：
$$\begin{gathered} \mathbf{\Omega }=-\phi e_1{e}_2+\phi e_2{e}_1 \\ \mathbf{\Omega }\bullet u=\phi (u_1{e}_2-u_2{e}_1) \\ u\bullet \mathbf{\Omega }=\phi (-u_1{e}_2+u_2{e}_1) \end{gathered}$$
如图所示：

这意味着，

$\mathbf{\Omega }\bullet u$：将1-2面内的 $u$ 分量绕轴按右手系旋转$90°$并放大 $\phi =\sqrt{{\mathcal{C}}_2^{\Omega }}$ 倍，舍弃面外分量；

$u\bullet \mathbf{\Omega }$：将1-2面内的 $u$ 分量绕轴按左手系旋转$90°$并放大 $\phi$ 倍，舍弃面外分量；

上述关于二阶反对称张量线性变换的讨论也从几何上说明了 $u\bullet \mathbf{\Omega }\bullet u=0$。