定理(解析函数的高阶导数公式):设区域 D 的边界为复/单周线 Γ \Gamma Γ,函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 D 内解析,在 D ‾ = D ∪ Γ \overline D=D\cup\Gamma D=D∪Γ 上连续,则有:
f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ , ( z ∈ D , n = 1 , 2 , ⋯ ) f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_\Gamma \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta,\quad(z\in D,n=1,2,\cdots) f(n)(z)=2πin!∫Γ(ζ−z)n+1f(ζ)dζ,(z∈D,n=1,2,⋯)
证明:(数学归纳法)当 n = 1 n=1 n=1 时,由 Cauchy 公式
f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = 1 Δ z [ 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ζ − z − Δ z d ζ − 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ζ − z d ζ ] = 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) d ζ \dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} =\dfrac{1}{\Delta z}\left[\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z-\Delta z}d\zeta-\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\right] =\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)}d\zeta Δzf(z+Δz)−f(z)=Δz1[2πi1∫Γζ−z−Δzf(ζ)dζ−2πi1∫Γζ−zf(ζ)dζ]=2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)f(ζ)dζ下一步需要证明,当 Δ z \Delta z Δz 足够小时,
∣ 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) d ζ − 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ = ∣ 1 2 π i ∫ Γ Δ z f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ \left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)}d\zeta-\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta\right| =\left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{\Delta z f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right| 2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)f(ζ)dζ−2πi1∫Γ(ζ−z)2f(ζ)dζ = 2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)2Δzf(ζ)dζ 小于任意给定的正数 ε \varepsilon ε。由于, f ( z ) f(z) f(z) 在 Γ \Gamma Γ 上连续,故 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 在 Γ \Gamma Γ 上存在上界 M M M,即
∣ f ( ζ ) ∣ ⩽ M , ( ζ ∈ Γ ) |f(\zeta)|\leqslant M,\quad(\zeta\in\Gamma) ∣f(ζ)∣⩽M,(ζ∈Γ)
设点 z z z 距周线的距离为 δ \delta δ,则有 ∣ ζ − z ∣ ⩾ δ |\zeta-z|\geqslant\delta ∣ζ−z∣⩾δ。另外,不妨取 ∣ Δ z ∣ < δ 2 |\Delta z|<\dfrac{\delta}{2} ∣Δz∣<2δ,则
∣ ζ − z − Δ z ∣ ⩾ ∣ ∣ ζ − z ∣ − ∣ Δ z ∣ ∣ > δ 2 |\zeta-z-\Delta z|\geqslant|~|\zeta-z|-|\Delta z|~|>\dfrac{\delta}{2} ∣ζ−z−Δz∣⩾∣ ∣ζ−z∣−∣Δz∣ ∣>2δ由积分估值定理
∣ 1 2 π i ∫ Γ Δ z f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ = ∣ Δ z ∣ 2 π ∣ ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ ⩽ ∣ Δ z ∣ 2 π ∫ Γ ∣ f ( ζ ) ∣ ∣ ζ − z − Δ z ∣ ∣ ζ − z ∣ 2 ∣ d ζ ∣ < ∣ Δ z ∣ 2 π M δ 2 δ 2 ∫ Γ ∣ d ζ ∣ = ∣ Δ z ∣ M L π δ 3 \begin{aligned} \left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{\Delta z f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right| &=\dfrac{|\Delta z|}{2\pi}\left|\int_\Gamma\dfrac{ f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right|\\\\ &\leqslant\dfrac{|\Delta z| }{2\pi}\int_\Gamma\dfrac{ |f(\zeta)|}{|\zeta-z-\Delta z|~|\zeta-z|^2}|d\zeta| \\\\ &<\dfrac{|\Delta z|}{2\pi}\dfrac{ M}{\dfrac{\delta}{2}~\delta^2}\int_\Gamma|d\zeta|\\\\ &=\dfrac{|\Delta z|ML}{\pi\delta^3} \end{aligned} 2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)2Δzf(ζ)dζ =2π∣Δz∣ ∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)2f(ζ)dζ ⩽2π∣Δz∣∫Γ∣ζ−z−Δz∣ ∣ζ−z∣2∣f(ζ)∣∣dζ∣<2π∣Δz∣2δ δ2M∫Γ∣dζ∣=πδ3∣Δz∣ML其中, L L L 为周线的周长。故只要满足:
∣ Δ z ∣ < m i n { d 2 , ε π δ 3 M L } |\Delta z|
f ′ ( z ) = lim Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 d ζ f'(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta f′(z)=Δz→0limΔzf(z+Δz)−f(z)=2πi1∫Γ(ζ−z)2f(ζ)dζ现假定当 n = k > 1 n=k>1 n=k>1 时,定理成立。此时可将 f ( k ) ( z ) f^{(k)}(z) f(k)(z) 视为 f ( z ) f(z) f(z) ,类似于 n = 1 n=1 n=1 的情形推证知: n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时结论也成立。(证毕)
Remark:
\quad
1)该公式一方面给出了用积分计算高阶导数,另一方面也提供了由导数计算积分的方法;
\quad
2)该定理指出:若函数在区域内解析,则它在区域内具有各阶导数,并且它们在区域里也解析;
\quad
定理(Cauchy 不等式):设复函数在圆盘 ∣ z − z 0 ∣ < R |z-z_0|
∣z−z0∣<R 内解析,又 ∣ f ( z ) ∣ < M , ( ∣ z − z 0 ∣ < R ) |f(z)|∣f(z)∣<M,(∣z−z0∣<R) ,则圆心处的高阶导数满足:
∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ ⩽ n ! M R n , ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \left|f^{(n)}(z_0)\right|\leqslant\dfrac{n! M}{R^n},\quad(n=1,2,3,\cdots) f(n)(z0) ⩽Rnn!M,(n=1,2,3,⋯)
证明:复函数在任意的圆盘 ∣ z − z 0 ∣ ⩽ R 1 < R |z-z_0|\leqslant R_1
∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ = ∣ n ! 2 π i ∫ c f ( ζ ) ζ − z 0 d ζ ∣ ⩽ n ! 2 π M ⋅ 2 π R 1 R 1 n + 1 = n ! M R n \begin{aligned} \left|f^{(n)}(z_0)\right|&=\left|\dfrac{n!}{2\pi i}\int_c\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}d\zeta\right|\\\\ &\leqslant\dfrac{n!}{2\pi}\dfrac{M\cdot2\pi R_1}{R_1^{n+1}}=\dfrac{n! M}{R^n} \end{aligned} f(n)(z0) = 2πin!∫cζ−z0f(ζ)dζ ⩽2πn!R1n+1M⋅2πR1=Rnn!M令 R 1 → R R_1\rightarrow R R1→R,Cauchy 不等式得证。
Remark: 显然,Cauchy 不等式对导数的估计与区域的大小相关。
定义:全平面解析的函数称为 整函数 。
定理(Liouville 定理):有界整函数必为常数。
证明:由于函数 f ( z ) f(z) f(z) 在全平面解析,且有界,则对任意一点由 Cauchy 不等式:
∣ f ′ ( z ) ∣ ⩽ M R n \left|f'(z)\right|\leqslant\dfrac{M}{R^n} ∣f′(z)∣⩽RnM令 R → 0 R\rightarrow 0 R→0,则有:
f ′ ( z ) = 0 f'(z)=0 f′(z)=0故可知
f ( z ) = C o n s t f(z)=Const f(z)=Const
推论:非常数的整函数必定无界。
引理:任意 n n n 次多项式函数 p ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n p(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn在复平面内至少有一个零点。
证明:(反证法)设 p ( z ) p(z) p(z) 在复平面上无零点,则函数 1 p ( x ) \dfrac{1}{p(x)} p(x)1 在全平面上解析,根据 Liouville 定理:非常数的整函数必定无界。
由于
lim z → ∞ 1 ∣ p ( z ) ∣ = lim z → ∞ 1 ∣ z ∣ n ( a 0 ∣ z ∣ n + a 1 ∣ z ∣ n − 1 + ⋯ + a n ) = 0 \lim_{z\rightarrow\infty}\dfrac{1}{|p(z)|}=\lim_{z\rightarrow\infty}\dfrac{1}{|z|^n\left(\dfrac{a_0}{|z|^n}+\dfrac{a_1}{|z|^{n-1}}+\cdots+a_n\right)}=0 z→∞lim∣p(z)∣1=z→∞lim∣z∣n(∣z∣na0+∣z∣n−1a1+⋯+an)1=0故存在 R > 0 R>0 R>0,使得当 ∣ z ∣ > R |z|>R ∣z∣>R 时
∣ f ( z ) ∣ < 1 |f(z)|<1 ∣f(z)∣<1在闭圆 ∣ z ∣ < R |z|
综上, 1 p ( x ) \dfrac{1}{p(x)} p(x)1 在全平面是有界的,矛盾,原命题成立。
\quad
定理(代数基本定理): n n n 次多项式函数
p ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n p(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn在复平面内有且仅有 n n n 个零点
证明:根据引理,多项式函数 p ( z ) p(z) p(z) 在全平面至少存在一个零点 z 0 z_0 z0,那么根据因式定理有:
p ( z ) = ( z − z 0 ) g ( z ) p(z)=(z-z_0)g(z) p(z)=(z−z0)g(z)其中, g ( z ) g(z) g(z) 为 n − 1 n-1 n−1 阶多项式,同样对其运用引理,可得另一零点。反复操作下去,代数基本定理便可得证。
定义:设 C 为复平面内任意一条简单的逐段光滑的曲线(不必闭合), f ( z ) f(z) f(z) 是在 C 上有定义的可积函数,那么积分:
1 2 π i ∫ C f ( ζ ) ζ − z d ζ , ( z ∉ C ) \dfrac{1}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,\quad(z\not\in C) 2πi1∫Cζ−zf(ζ)dζ,(z∈C)存在,将其称作 柯西型积分 。
定理:若复函数 f ( z ) f(z) f(z) 沿简单的逐段光滑的曲线 C(不必闭合)连续,则由柯西型积分定义的函数 F ( z ) F(z) F(z):
F ( z ) = 1 2 π i ∫ C f ( ζ ) ζ − z d ζ , ( z ∈ D ) F(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,\quad(z\in D) F(z)=2πi1∫Cζ−zf(ζ)dζ,(z∈D)解析,其中, D D D 为曲线 C 外的任意区域 ( D ∩ C = ϕ D\cap C=\phi D∩C=ϕ)。且它满足:
F ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∫ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ , ( z ∈ D , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) F^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta,\quad(z\in D,n=1,2,3,\cdots) F(n)(z)=2πin!∫C(ζ−z)n+1f(ζ)dζ,(z∈D,n=1,2,3,⋯)
证明:由于 f ( z ) f(z) f(z) 沿简单的逐段光滑的曲线 C连续,且 z ∉ C z\not\in C z∈C,故柯西型积分存在。下面证明函数 F ( z ) F(z) F(z) 导数存在并求出导数(过程与解析函数高阶导数计算公式的证明类似,采用数学归纳法):
F ( z + Δ z ) − F ( z ) Δ z = 1 Δ z [ 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ζ − z − Δ z d ζ − 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ζ − z d ζ ] = 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) d ζ \dfrac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z} =\dfrac{1}{\Delta z}\left[\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z-\Delta z}d\zeta-\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\right] =\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)}d\zeta ΔzF(z+Δz)−F(z)=Δz1[2πi1∫Γζ−z−Δzf(ζ)dζ−2πi1∫Γζ−zf(ζ)dζ]=2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)f(ζ)dζ下一步需要证明,当 Δ z \Delta z Δz 足够小时,
∣ 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) d ζ − 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ = ∣ 1 2 π i ∫ Γ Δ z f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ \left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)}d\zeta-\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta\right| =\left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{\Delta z f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right| 2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)f(ζ)dζ−2πi1∫Γ(ζ−z)2f(ζ)dζ = 2πi1∫Γ(ζ−z−Δz)(ζ−z)2Δzf(ζ)dζ 小于任意给定的正数 ε \varepsilon ε。由于, f ( z ) f(z) f(z) 在 C C C 上连续,故 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 在 C C C 上存在上界 M M M,即
∣ f ( ζ ) ∣ ⩽ M , ( ζ ∈ C ) |f(\zeta)|\leqslant M,\quad(\zeta\in C) ∣f(ζ)∣⩽M,(ζ∈C)设点 z z z 距 C 的距离为 δ \delta δ,则有 ∣ ζ − z ∣ ⩾ δ |\zeta-z|\geqslant\delta ∣ζ−z∣⩾δ。另外,不妨取 ∣ Δ z ∣ < δ 2 |\Delta z|<\dfrac{\delta}{2} ∣Δz∣<2δ,则
∣ ζ − z − Δ z ∣ ⩾ ∣ ∣ ζ − z ∣ − ∣ Δ z ∣ ∣ > δ 2 |\zeta-z-\Delta z|\geqslant|~|\zeta-z|-|\Delta z|~|>\dfrac{\delta}{2} ∣ζ−z−Δz∣⩾∣ ∣ζ−z∣−∣Δz∣ ∣>2δ由积分估值定理
∣ 1 2 π i ∫ C Δ z f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ = ∣ Δ z ∣ 2 π ∣ ∫ C f ( ζ ) ( ζ − z − Δ z ) ( ζ − z ) 2 d ζ ∣ ⩽ ∣ Δ z ∣ 2 π ∫ C ∣ f ( ζ ) ∣ ∣ ζ − z − Δ z ∣ ∣ ζ − z ∣ 2 ∣ d ζ ∣ < ∣ Δ z ∣ 2 π M δ 2 δ 2 ∫ C ∣ d ζ ∣ = ∣ Δ z ∣ M L π δ 3 \begin{aligned} \left|\dfrac{1}{2\pi i}\int_C\dfrac{\Delta z f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right| &=\dfrac{|\Delta z|}{2\pi}\left|\int_C\dfrac{ f(\zeta)}{(\zeta-z-\Delta z)(\zeta-z)^2}d\zeta\right|\\\\ &\leqslant\dfrac{|\Delta z| }{2\pi}\int_C\dfrac{ |f(\zeta)|}{|\zeta-z-\Delta z|~|\zeta-z|^2}|d\zeta| \\\\ &<\dfrac{|\Delta z|}{2\pi}\dfrac{ M}{\dfrac{\delta}{2}~\delta^2}\int_C|d\zeta|\\\\ &=\dfrac{|\Delta z|ML}{\pi\delta^3} \end{aligned} 2πi1∫C(ζ−z−Δz)(ζ−z)2Δzf(ζ)dζ =2π∣Δz∣ ∫C(ζ−z−Δz)(ζ−z)2f(ζ)dζ ⩽2π∣Δz∣∫C∣ζ−z−Δz∣ ∣ζ−z∣2∣f(ζ)∣∣dζ∣<2π∣Δz∣2δ δ2M∫C∣dζ∣=πδ3∣Δz∣ML其中, L L L 为 C的长度。故只要满足:
∣ Δ z ∣ < m i n { d 2 , ε π δ 3 M L } |\Delta z|
F ′ ( z ) = lim Δ z → 0 F ( z + Δ z ) − F ( z ) Δ z = 1 2 π i ∫ Γ f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 d ζ F'(z)=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta F′(z)=Δz→0limΔzF(z+Δz)−F(z)=2πi1∫Γ(ζ−z)2f(ζ)dζ现假定当 n = k > 1 n=k>1 n=k>1 时,定理成立。此时可将 F ( k ) ( z ) F^{(k)}(z) F(k)(z) 视为 F ( z ) F(z) F(z) ,类似于 n = 1 n=1 n=1 的情形推证知: n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时结论也成立。(证毕)