幻方算法(Magic Square)

一、幻方按照阶数可成了三类,奇数阶幻方双偶阶幻方单偶阶幻方

二、奇数阶幻方(劳伯法)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是:

1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的(n×n1)个数:
1每一个数放在前一个数的右上一格;

(2如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;

3如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;

4如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在底行且最左列;

5如果这个数所要放的格已经有数填入,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例,用该填法获得的5阶幻方:

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9


二、双偶数阶幻方(海尔法)

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方,即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义:就是在n阶幻方中,如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和(即n×n1),我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中,每一对和为10的数,是一对互补数 ;在四阶幻方中,每一对和为17的数,是一对互补数。

双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法。填写的方法是:

8阶幻方为例:
1先把数字按顺序填。然后,按4×4把它分割成4块(如图)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

2每个小方阵对角线上的数字(如左上角小方阵部分),换成和它互补的数。

64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1



三、单偶数阶幻方(斯特拉兹法)

所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方,即4K+2阶幻方。如(n=61014……)的幻方。

 

单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法。填写的方法是:

10阶幻方为例。这时,k=2
1)把魔方阵分为ABCD四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。


2)在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格,和C象限相对位置上的数互换位置。


3)在B象限所有行的中间格,自右向左,标出k1格。(注:6阶幻方由于k1=0,所以不用再作BD象限的数据交换),将这些格,和D象限相对位置上的数互换位置。


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