数学建模：熵权法
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熵权法
- 构建原始矩阵 D a t a Data Data 形状为 m ∗ n m *n m∗n ，其中 m m m 为评价对象， n n n 为评价指标。
- 对 D a t a Data Data矩阵的指标进行正向化处理，得到矩阵 X X X.
- 计算每一个指标在每一个对象下的所占该指标的比重，然后我们便得到了变异值矩阵： P P P
p i j = Y y ¨ ∑ i = 1 m Y i j , i = 1 , ⋯ , m , j = 1 , ⋯ , n \begin{aligned}p_{ij}=\frac{Y_{\ddot{y}}}{\sum_{i=1}^m Y_{ij}},i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n\end{aligned} pij=∑i=1mYijYy¨,i=1,⋯,m,j=1,⋯,n
- 求各指标的信息熵 E E E：
E j = − ln ( m ) − 1 ∑ i = 1 m p i j ln p i j E_j=-\ln(m)^{-1}\sum_{i=1}^mp_{ij}\ln p_{ij} Ej=−ln(m)−1i=1∑mpijlnpij
- 通过信息熵计算各个指标的权重 W W W ：其中 k k k 是指标的个数，即 k = n k = n k=n
w j = 1 − E j k − Σ E j ( j = 1 , 2 , … , n ) w_j=\dfrac{1-E_j}{k-\Sigma E_j}(j=1,2,\ldots,n) wj=k−ΣEj1−Ej(j=1,2,…,n)
- 也可以通过计算信息冗余度来计算权重 W W W（本代码采取这种方法）：
D j = 1 − E j w j = D j ∑ j = 1 m D j \begin{aligned}D_j&=1-E_j\\\\w_j&=\frac{D_j}{\sum_{j=1}^mD_j}\end{aligned} Djwj=1−Ej=∑j=1mDjDj
- 计算每一个对象的最终得分：
Z i = ∑ j = 1 n X i j W j ， i ∈ ( 1 , 2 , 3 , . . . m ) Z_{i}\mathrm{=}\sum_{j=1}^{n}X_{ij}W_{j}，i\in(1,2,3, ... m) Zi=j=1∑nXijWj，i∈(1,2,3,...m)
代码实现
function [Score,W]=mfunc_entropyMethod(data)
% 熵权法：求解每个指标的权重
% paramts:
% data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标
% returns:
% Score：每个评价对象的综合得分
% W: 所有指标的权重
%数据标准化到0.002-1区间
data2=mapminmax(data',0.002,1);
data2=data2';
%得到信息熵
[m,n]=size(data2); % m个对象，n个指标
p=zeros(m,n);
for j=1:n
% 计算第j列的每一列指标在该指标中所占的比例
p(:,j)=data2(:,j)/sum(data2(:,j));
end
for j=1:n
% 计算每个指标的信息熵
E(j)=-1/log(m)*sum(p(:,j).*log(p(:,j)));
end
%计算权重
W=(1-E)/sum(1-E); % 通过信息冗余度计算
%计算得分
s=data2*W';
Score=100*s/max(s);
end