2023华数杯数学建模A题2023华数杯A 题隔热材料的结构优化控制研究

问题1

问题1： 该问题需要建立一个数学模型来描绘织物整体热导率与单根纤维热导率之间的关系。这个模型需要考虑织物的结构（如纤维的排列、空隙大小和分布等）以及纤维和空隙中的空气对热传导的贡献。此外，我们需要根据织物的整体热导率来逆向推算出单根纤维的热导率。

解题思路：

使用热传导的基础理论，结合题目给出的纤维和空气的热导率，以及织物的结构参数（如纤维的直径、织物的厚度、经密、纬密、纤维弯曲角度等），来建立数学模型。这个模型应该能够描述平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间的关系。
将已知的织物整体热导率值代入该模型，通过逆向推算得出单根纤维的热导率。

问题2

问题2： 题目要求通过选择合适的单根A纤维的直径并调整织物的经密、纬密、弯曲角度，使得织物的整体热导率最低。

解题思路：

在已建立的数学模型基础上，将问题转化为优化问题，通过调整参数（纤维直径、经密、纬密、弯曲角度）寻找能使得织物整体热导率最小的参数组合。
可以采用一些常见的优化算法（如梯度下降、遗传算法、模拟退火等）来解决这个优化问题。

问题3

问题3： 如果附件1的温度实际上是热源侧织物表面空气的温度，此时该侧就会发生对流换热。这就意味着我们的模型需要考虑到对流换热的影响。

解题思路：

考虑到对流换热的影响后，我们需要对原有的数学模型进行修正或扩展。这可能涉及到对流换热理论的应用，如牛顿冷却定律等。
根据新的模型，重新解答问题一和问题二。同样，问题一需要逆向计算出单根纤维的热导率，问题二则需要找出一种方式来最小化织物的整体热导率。
注意：在进行所有的计算和模型建立过程中，都需要充分利用题目给出的实验数据和参数。

A 题 隔热材料的结构优化控制研究
新型隔热材料 A 具有优良的隔热特性，在航天、军工、石化、建筑、交通等
高科技领域中有着广泛的应用。
目前，由单根隔热材料 A 纤维编织成的织物，其热导率可以直接测出；但是 单根隔热材料 A 纤维的热导率（本题实验环境下可假定其为定值），因其直径过 小，长径比（长度与直径的比值）较大，无法直接测量。单根纤维导热性能是织 物导热性能的基础，也是建立基于纤维的各种织物导热模型的基础。建立一个单 根隔热材料 A 纤维的热导率与织物整体热导率的传热机理模型成为研究重点。该 模型不仅能得到单根隔热材料 A 纤维的热导率，解决当前单根 A 纤维热导率无 法测量的技术难题；而且在建立的单根隔热材料 A 纤维热导率与织物热导率的关 系模型的基础上，调控织物的编织结构，进行优化设计，能制作出更好的满足在
航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域需求的优异隔热性能织物。
织物是由大量单根纤维堆叠交织在一起形成的网状结构，本题只研究平纹织 物，如图 1 和图 2 所示。不同直径纤维制成的织物，其基础结构参数不同，即纤 维弯曲角度、织物厚度、经密、纬密等不同，从而影响织物的导热性能。本题， 假设任意单根 A 纤维的垂直切面为圆形，织物中每根纤维始终为一个有弯曲的圆
柱。经纱、纬纱弯曲角度 10° < θ ≤ 26.565°。
热导率是纤维和织物物理性质中最重要的指标之一。织物的纤维之间存在空 隙，空隙里空气为静态空气，静态空气热导率 0.0296 W/(mK) 。计算织物热导率
时既考虑纤维之间的传热，也不能忽略空隙中空气的传热。

图 1. 平纹织物截面示意图

图 2. 平纹织物三维图
我们在 25℃实验室环境下，用 Hotdisk 装置对织物进行加热和测量，Hotdisk 恒定功率为 1mW ，作用时间 1s ，在 0.1s 时热流恰好传递到织物另一侧。实验测
得 0~0.1s 之间织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据见附件 1。
请建立数学模型，回答下列问题:
问题 1：假设附件 1 的温度为热源侧织物的表面温度，只考虑纤维传热和空 隙间的气体传热，建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模 型。在附件 2 的实验样品参数条件下，测得如图 2 所示的平纹织物的整体热导率
为 0.033W/(mK) ，请根据建立的数学模型计算出单根 A 纤维的热导率。
问题 2：假设：1）制成织物的任意单根 A 纤维的直径在 0.3 mm~0.6 mm。 2）织物位于热源一侧表面温度随时间的变化的数据依旧参考附件 1 。3）由于温 度和织物结构造成的织物整体密度和比热的变化可以忽略。请问如何选用单根 A
纤维的直径及调整织物的经密、纬密、弯曲角度，使得织物的整体热导率最低。
问题 3：如果附件 1 的温度实际是热源侧织物表面空气的温度，此时该侧就 会发生对流换热，假定织物表面的对流换热系数为 50 W/(m2 K) ，请重新解答问
题一和问题二。

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