2023 华数杯（A题）深度剖析！代码思路文章全解！热导率分析，热力学建模

问题重述：

在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域中，新型隔热材料A 具有优良的隔热特性，被广泛应用。目前，通过单根隔热材料A 纤维编织成的织物的热导率可以直接测量，但由于单根隔热材料A 纤维的直径过小、长径比较大，无法直接测量其热导率。因此，建立一个单根隔热材料A 纤维的热导率与织物整体热导率之间的传热机理模型成为研究重点。这个模型不仅能解决当前单根A 纤维热导率无法测量的技术难题，还能在建立基于纤维的各种织物导热模型的基础上，调控织物的编织结构，进行优化设计，从而制作出更好地满足航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域需求的优异隔热性能织物。

需要建立一个数学模型，回答以下问题： 问题1：假设附件1的温度为热源侧织物的表面温度，只考虑纤维传热和空隙间的气体传热，建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模型。在附件2的实验样品参数条件下，测得如图2所示的平纹织物的整体热导率为0.033 W/(mK)，请根据建立的数学模型计算出单根A纤维的热导率。

要建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间的数学模型。首先，我们可以考虑织物的热传导过程。在热传导中，织物可以视为包含两部分的复合材料：纤维和空气。我们可以将织物的热导率表示为这两部分的加权平均值，其中权重是相应材料的体积分数。

1. 将平纹织物简化为仅由经纱和纬纱两部分组成。

2. 在传热方向上(设为织物厚度方向),可以将织物视为一个复合结构,由纤维和纤维间的空隙组成。

3. 纤维间的空隙中充满了静态空气,根据给定条件,空隙中的静态空气热导率为0.0296 W/(m·K),这是常数。
4. 纤维部分的热导率是未知量,设单根纤维的热导率为 。

5. 根据复合材料的并联传热模型,织物的整体热导率k可以表示为: ,其中 表示纤维部分的热导率, 表示空隙中的气体热导率。

6. 经纱部分与纬纱部分的结构和参数相同,可以单独建模,然后并联得到织物的整体热导率。

7. 对于经纱部分,其热导率 可表示为: (经纱中纤维截面积之和/经纱截面积) 设经纱纤维弯曲角度为θ,经纱密度为ps(根数/10cm),织物厚度为δ。

则经纱部分热导率为: 

同理,建立纬纱部分的热导率表达式: 

将经纱、纬纱与气体并联,织物的整体热导率为:.带入给定的实验数据,解上述方程组,可以求得单根纤维的热导率.

首先，我们知道热传导方程为：

其中，q 是单位时间内通过物体横截面的热流量，k 是物体的热导率，A 是横截面积，dT/dx 是温度梯度。

在实验中，用Hotdisk装置对织物进行加热和测量，Hotdisk恒定功率为1mW，作用时间1s，在0.1s时热流恰好传递到织物另一侧。实验测得0~0.1s之间织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据，我们可以用这些数据来计算织物的热导率。

在热流传递到织物另一侧的瞬间，织物的温度分布还比较均匀，可以近似认为织物的温度在空间上是均匀的。此时热传导方程可以简化为：

其中，是单根纤维的热导率，是单根纤维的横截面积，是织物中单根纤维温度的梯度。

由于每根纤维都在有弯曲的圆柱上，我们可以假设织物中纤维之间的距离为均匀的，并且可以近似为正交排列。在这种情况下，织物中每个纤维与相邻纤维之间形成一个矩形空隙，我们可以将热流分成两部分：纤维之间的传热和空隙中空气的传热。

假设织物的厚度为L，纤维直径为d，纤维之间的距离为s，织物中有n根纤维。我们可以得到纤维之间传热的表达式：

同时，空隙中空气传热的表达式为：

织物的整体热导率kw​可以表示为：

其中fiber+airq=qfiber​+qair​，A=n⋅(d⋅L+s⋅L)，Tw​是织物的温度，Tf​是纤维的温度，Tair​是空气的温度。

由于实验中只测得了织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据，我们可以根据这些数据来拟合得到dxdTw​​。然后，根据实验中测得的织物的整体热导率kw​（0.033 W/(mK)），以及已知的织物厚度L、纤维之间的距离s等参数，求解单根纤维的热导率kf​即可。

def read_temperature_data(filename):
    time_data = []
    temp_data = []
    with open(filename, 'r') as file:
        next(file)  # 跳过标题行
        for line in file:
            time, temp = line.strip().split(',')
            time_data.append(float(time))
            temp_data.append(float(temp))
    return time_data, temp_data
 
def calculate_temperature_gradient(time_data, temp_data):
    # 假设温度随时间变化是线性的，这里简单求取温度梯度
    dt = time_data[-1] - time_daasdsdta[0]
    dT_w_dx = (temp_data[-1] - temp_dataasdasd[0]) / dt
    return dT_w_dx
 
def calculate_fiber_conductivity(kw, L, s, d, k_air, dT_w_dx):
    A = d * L + s * Ladad /打码
    kf = -((kw * A * dT_w_dx) + (k_air * s * L * dT_w_dx)) / (d * L * dT_w_dx)
    return kf
 
# 示例数据文件名和实际数据
filename = "temperature_data.csv"
kw = 0.033
L = 0.01
s = 0.001
d = 0.0001
k_air = 0.0296
 
# 从文件读取数据并计算温度梯度和单根纤维的热导率
time_data, temp_data = read_temperature_data(filename)
dT_w_dx = calculate_temperature_g打码，全部解析看下图radient(time_data, temp_data)
fiber_conductivity = calculate_fiber_conductivity(kw, L, s, d, k_air, dT_w_dx)
 
# 输出结果
print("单根纤维的热导率 kf = {:.4f} W/(mK)".format(fiber_conductivity))

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