LA@特征值和特征向量的性质

方阵特征值和特征向量的性质

特征值之和

• $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$
  • 其中${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$称为矩阵的迹,记为$Tr(\mathbf{A})$

特征值之积

• ${\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$

推论:特征值判定方阵的可逆性

• 方阵$\mathbf{A}$可逆的条件是其的特征值不全为0
• 证明:
  • 由特征值之积的性质可知,当方阵$\mathbf{A}$的特征值之积不为0,意味着$|\mathbf{A}|\ne 0$从而$\mathbf{A}$是可逆的

证明

• 借助多项式的知识来同时证明上述两条性质(同次项系数相等原理)

• 对于

  • f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ f(\lambda)=|\lambda{E}-A|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}& -a_{12}& \cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}& \lambda-a_{22}& \cdots&-a_{2n} \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots&\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} f(λ)=∣λE−A∣= ​λ−a11​−a21​⋮−an1​​−a12​λ−a22​⋮−an2​​⋯⋯⋯​−a1n​−a2n​⋮λ−ann​​ ​

  • $f(\lambda )$行列式展开后有$n!$项(未合并化简同类项前),把它们记为${\theta }_k,k=1,2,\cdots ,n!$,${\theta }_k=(-1{)}^{\tau (p_k)}{\prod }_{i=1}^n{a}_{i,j_i}$,其中$p_k$是第$k$个$n$级排列$(j_1,\cdots ,j_n)$

  • 将合并同类相(多项式的一般形式):$f(\lambda )$=${\sum }_{i=0}^n{a}_i{\lambda }^i$ <1>

    • <1>式中有1项是由主对角线元素相乘的积,是$n$次项,同时也是最高次项),把它记为

      • ${\theta }_d=(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})$,这也是一个关于$\lambda$,的$n$次多项式

    • 其余项至多含有对角线元素的$n-2$个元素(次高项的次数为$n-2$)

      • 因为每个项的因子都取自不同行不同列
      • 事实上,行列式展开的的$n!$项求和式中,每一项都包含行列式中的某$n$个元素的乘积作为因式,如果因式中不包含某个对角线元素(设取自第$i$行的元素不来自第$i$列,记为$e_1$),那么必定存在一个元素(设取自第$j$行,记为$e_2$)是来自第$i$列的,这就导致第$i,j$行取出的元素$e_1,e_2$都不是对角线上的元素($i\ne j$)

    • 因此,容易确定<1>中$a_n,a_{n-1}$都是由${\theta }_d$所确定的

    • 现在,我们只对$\xi$这一项感兴趣,由多项式相关知识,容易做出以下推导

      • ${\theta }_d$=${\lambda }^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}){\lambda }^{n-1}+\cdots$
      • $f(\lambda )$=${\theta }_d+\sum _{i,i\ne d}^{n!}{\theta }_i$
        • 展开式中$n,n-1$次项的系数是只由${\theta }_d$提供,其余${\theta }_i,i\ne p$只能够提供不超过$n-2$次项;
        • $a_n=1$;$a_{n-1}=-{\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$;
        • 常数项$a_0$可以通过取$\lambda =0$得到,即$a_0=f(0)=|0E-\mathbf{A}|=|-\mathbf{A}|=(-1{)}^n|\mathbf{A}|$
      • $f(\lambda )={\lambda }^n-({\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}){\lambda }^{n-1}+\cdots |-A|{\lambda }^0$<2>
      • Notes:参考:math@多项式@求和式乘法

• 另一方面,设${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$是$f(\lambda )$的$n$个特征值(根)

  • 对于$n$次多项式$f(\lambda )$,他有$n$个复根,由余式定理,可以因式分解写成如下形式

    • $f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)$

    • $f(\lambda )$=${\prod }_{i=1}^n(\lambda -{\lambda }_i)$=${\lambda }^n-({\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i){\lambda }^{n-1}+\cdots +{\prod }_{i=1}^n(-{\lambda }_i)$<3>

小结

• 对比式<2>,<3>中的
  • $n-1$次项的系数${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $0$次项系数$|-A|={\prod }_{i=1}^n(-{\lambda }_i)$,即$(-1{)}^n|A|=(-1{)}^n{\prod }_i^n({\lambda }_i)$所以:$|A|={\prod }_i^n{\lambda }_i$

导出性质

• 设$\alpha ,\mathbf{A},\lambda$满足$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$,则:

  • $(k\mathbf{A})(k\alpha )=(k\lambda )(k\alpha )$
  • ${\mathbf{A}}^m\alpha ={\lambda }^m\alpha$

• 证明:

  • 对$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$同乘以$k$,

    • $(k\mathbf{A})\alpha =(k\lambda )\alpha$,
    • $\mathbf{A}(k\alpha )=\lambda (k\alpha )$
    • 再次乘以$k$:$(k\mathbf{A})(k\alpha )=(k\lambda )(k\alpha )$

  • 对$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$两边同时左乘$\mathbf{A}$

    • $\mathbf{AA}\alpha =\mathbf{A}\lambda \alpha =\lambda \mathbf{A}\alpha =\lambda \lambda \alpha$,所以:
      • ${\mathbf{A}}^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$;
      • 类似的${\mathbf{A}}^3\alpha =\mathbf{A}{\lambda }^2\alpha ,{\lambda }^2\mathbf{A}\alpha ={\lambda }^3\alpha$
      • 重复$m-1$次得到:${\mathbf{A}}^m\alpha ={\lambda }^m\alpha$

可逆矩阵的特征值性质

• 当$\mathbf{A}$可逆时
  1. $${\lambda }^{-1}\alpha ={\mathbf{A}}^{-1}\alpha$$
     • 对$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$同时左乘${\mathbf{A}}^{-1}$
     • $\alpha =\lambda {\mathbf{A}}^{-1}\alpha$,两边同乘以${\lambda }^{-1}$，${\lambda }^{-1}\alpha ={\mathbf{A}}^{-1}\alpha$
  2. $({\mathbf{A}}^{\ast })\alpha =\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\alpha$
     • 方法1:
       • ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$,两边同时乘以$\alpha$:${\mathbf{A}}^{-1}\alpha =\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }\alpha$
       • ${\lambda }^{-1}\alpha =(\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast })\alpha$
       • $\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\alpha =({\mathbf{A}}^{\ast })\alpha$
       • 所以$({\mathbf{A}}^{\ast })\alpha =\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\alpha$
     • 方法2:
       • ${\mathbf{A}}^{\ast }=|A|{\mathbf{A}}^{-1}$,两边同时乘以$\alpha$,$({\mathbf{A}}^{\ast })\alpha =|A|{\mathbf{A}}^{-1}\alpha$
       • $|A|{\mathbf{A}}^{-1}\alpha =|A|{\lambda }^{-1}\alpha$
       • 所以$({\mathbf{A}}^{\ast })\alpha =\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\alpha$

转置矩阵和特征值

• 方阵$\mathbf{A}$的转置${\mathbf{A}}^T$的特征值和$\mathbf{A}$的特征值相同

  • $\mathbf{A}:f(\lambda )=|\lambda E-\mathbf{A}|$

  • ${\mathbf{A}}^T:f(\lambda )=|\lambda E-{\mathbf{A}}^T|=|(\lambda E{)}^T-{\mathbf{A}}^T|=|(\lambda E-\mathbf{A}{)}^T|=|\lambda E-\mathbf{A}|$

  • 可见,$\mathbf{A},{\mathbf{A}}^T$具有相同的特征方程,因此特征值一定相同

• 但是它们的特征向量不一定相同

  • 因为前面我们讨论过,特征值不能够唯一确定特征向量

矩阵多项式的特征值

• 设$p(x)=\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i=\sum _{i=0}^m{a}_{m-i}{x}^{m-i}$;$\lambda ,\mathbf{A},\alpha$满足$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$,则$p(\mathbf{A})\alpha =p(\lambda )\alpha$

• 证明:

  • $p(\mathbf{A})\alpha =\sum _{i=0}^m{a}_i{\mathbf{A}}^i\alpha$=$\sum _{i=0}^m{a}_i{\lambda }^i\alpha$,而$p(\lambda )=\sum _{i=0}^m{a}_i{\lambda }^i$;从而$p(\lambda )\alpha =\sum _{i=0}^m{a}_i{\lambda }^i\alpha$

  • 因此$p(\mathbf{A})\alpha =p(\lambda )\alpha$

不同特征值的特征向量线性无关定理

• 设$n$阶方阵$\mathbf{A}$的$n$个不同特征值为${\lambda }_i,i=1,2,\cdots ,m$,(${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$if $i\ne j$);$\mathbf{A}$关于${\lambda }_i$对应的特征向量分别记为${\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,m$;那么$A_0:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$线性无关
• 即:方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关
• 证明:

  • 对特征值的个数$m$作数学归纳法

  • 当$m=1$时,${\alpha }_1\ne 0$,$A_0:{\alpha }_1$仅含有一个非零向量的向量组线性无关

  • 设$m=k-1$时结论成立,即$A_{k-1}:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{k-1}$线性无关

    • 这里的思路是假设$m=k-1$时结论能推出$m=k$时也成立

      • (当然也可以设$m=k$时成立然后推$m=k+1$时仍然成立)

    • 设向量组$A_k:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k$,其线性相关性判定式${\sum }_{i=1}^k{x}_i{\alpha }_i=0$(1)

    • 用$\mathbf{A}$左乘(1)式两边,得${\sum }_{i=1}^k{x}_i\mathbf{A}{\alpha }_i=0$(2)

    • 由$\mathbf{A}{\alpha }_i=\lambda {\alpha }_i$代入(2)得${\sum }_{i=1}^k{x}_i{\lambda }_i{\alpha }_i=0$(3)

    • 作$(3)-{\lambda }_k(2)$得:${\sum }_{i=1}^k{x}_i({\lambda }_i-{\lambda }_k){\alpha }_i=0$,等式左侧展开式得最后一项为0,化简后即${\sum }_{i=1}^{k-1}{x}_i({\lambda }_i-{\lambda }_k){\alpha }_i=0$(4)

    • 由归纳假设,(4)中的表出系数${\gamma }_i=x_i({\lambda }_i-{\lambda }_k)=0$,$i=1,\cdots ,k-1$

      • 由条件中的特征值互异性:${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$,$i=1,\cdots ,m$可知${\lambda }_i-{\lambda }_k\ne 0$,$i=1,\cdots ,k-1$
      • 从而${\gamma }_i=0$一定有$x_i=0$,$i=1,\cdots ,k-1$;代入(1)可知$x_k{\alpha }_k=0$,而${\alpha }_k\ne 0$,所以$x_k=0$
      • 从而(1)中表出系数$x_i=0,i=1,\cdots ,k$,即$A_k:{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k$线性无关

  • 由归纳法原理,命题成立

  • Note:这个归纳法证明中,最重要的一个步骤是等式(4)的构造过程,它将$m=k$时的命题和$m=k-1$时的命题(归纳假设条件)联系起来

推论

• 设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是方阵$\mathbf{A}$的两个不同特征值$({\lambda }_1\ne {\lambda }_2)$,且$S_1:{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s$和$S_2:{\eta }_1,\cdots ,{\eta }_t$分别是对应于${\lambda }_1,{\lambda }_2$的线性无关特征向量组,则$S_1,S_2$合并的向量组$S_3$线性无关

推广

• 记特征值${\lambda }_i$,$i=1,\cdots ,m$的线性无关特征向量组为$A_i:{\alpha }_{i1},{\alpha }_{i2},\cdots ,{\alpha }_{i{s}_i}$$A_i$相当于方程$({\lambda }_{i}E-\mathbf{A})x=0$的一个基础解系),则这些向量组的合并向量组$B:A_1,\cdots ,A_n$依然线性无关

• 也即是说,属于各个特征值的线性无关特征向量合在一起构成的向量组依然线性无关

• 证明:

  • 对特征值个数$m$作数学归纳法,过程和本节定理得证明过程类似

  • 当$m=1$时,结论显然成立$S_3=S_1$是线性无关的

  • 设$m=k$时结论成立,

    • 当$m=k+1$时,设${\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\alpha }_{ij}=0$<1>

      • 对<1>两边同时左乘$\mathbf{A}$:${\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{s_i}{x}_{ij}\mathbf{A}{\alpha }_{ij}=0$<2>

      • 将$\mathbf{A}{\lambda }_i={\lambda }_i{\alpha }_{ij}$,$i=1,\cdots ,s_i$,代入<2>得:${\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_i{\alpha }_{ij}=0$<3>

        • 展开<3.1>
          $$\sum _{i=1}^{k+1}\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_i{\alpha }_{ij}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_i{\alpha }_{ij}+\sum _{j=1}^{s_{k+1}}{x}_{k+1,j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{k+1,j}=0$$

      • 对<1>两边同时乘以${\lambda }_{k+1}$得:${\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{ij}=0$<4>

        • 展开<4.1>

        • $$\sum _{i=1}^{k+1}\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{ij}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{ij}+\sum _{j=1}^{s_{k+1}}{x}_{k+1,j}{\lambda }_{k+1}{\alpha }_{k+1,j}=0$$

      • 作<3>-<4>,即<3.1>-<4.1>得

        • $$\sum _{i=1}^{k+1}\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}({\lambda }_i-{\lambda }_{k+1}){\alpha }_{ij}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{s_i}{x}_{ij}({\lambda }_i-{\lambda }_{k+1}){\alpha }_{ij}=0$$

      • <3>左边展开式中$i=k+1$的被化简

    • 由归纳假设,${\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^{s_i}{\gamma }_{ij}{\alpha }_{ij}=0$其中${\gamma }_{ij}=0$,所以,${\gamma }_{ij}=x_{ij}({\lambda }_i-{\lambda }_{k+1})=0$,$i=1,\cdots ,k$,$j=1,\cdots ,s_i$

    • 由${\lambda }_i,i=1,\cdots ,m$的互异性可知,${\lambda }_i-{\lambda }_{k+1}\ne 0$,所以$x_{ij}=0$

    • 代入<1>得${\sum }_{j=1}^{s_{k+1}}{x}_{k+1,j}{\alpha }_{k+1,j}=0$

      • 由$A_{k+1}:{\alpha }_{k+1,1},\cdots ,{\alpha }_{k+1,s_{k+1}}$线性无关可知,$x_{k+1,j}=0$,$j=1,\cdots ,s_{k+1}$
      • 所以$x_{1,1},\cdots ,x_{k+1,s_{k+1}}$全为0,即$B:A_1,\cdots ,A_{k+1}$线性无关

  • 由归纳法原理,结论成立

特征向量线性组合

同一矩阵的同一特征值的特征向量线性组合仍然是矩阵的特征向量

• 设$\alpha$是矩阵$\mathbf{A}$属于特征值${\lambda }_0$的特征向量(用符号语言可以简介的表示为:

  • $\alpha ,A\to \lambda$
  • 或者更直接的$A\alpha ={\lambda }_0\alpha$

• 设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathbf{A},{\lambda }_0$满足$\mathbf{A}{\alpha }_1={\lambda }_0{\alpha }_1$;$\mathbf{A}{\alpha }_2={\lambda }_0{\alpha }_2$,则:

  • $\beta =k{\alpha }_1$满足$A\beta ={\lambda }_0\beta$
    • 因为$\mathbf{A}(k{\alpha }_1)=k\mathbf{A}{\alpha }_1$=$k{\lambda }_0{\alpha }_1={\lambda }_0(k{\alpha }_1)$
  • $\gamma ={\alpha }_1+{\alpha }_2$满足$A\gamma ={\lambda }_0\gamma$
    • $\mathbf{A}({\alpha }_1+{\alpha }_2)$=$\mathbf{A}{\alpha }_1+\mathbf{A}{\alpha }_2$=${\lambda }_0{\alpha }_1+{\lambda }_0{\alpha }_2={\lambda }_0({\alpha }_1+{\alpha }_2)$
  • 综合上述结论,可以得出:若${\alpha }_i$,$\mathbf{A},{\lambda }_0$满足$A{\alpha }_i={\alpha }_i{\lambda }_0$,$(i=1,2,\cdots ,n)$则${\alpha }_i$的任意线性组合$\theta ={\sum }_i{k}_i{\alpha }_i$满足$A\theta =\theta {\lambda }_0$

方阵$\mathbf{A}$得不同特征值得特征向量之和不是$\mathbf{A}$的特征向量

• 使用反证法来证明

  • 设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是$\mathbf{A}$的两个不同特征值,即$\mathbf{A}{\mathbf{p}}_i={\lambda }_i{\mathbf{p}}_i$,$i=1,2$

  • 易知$\mathbf{A}({\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2)={\lambda }_1{\mathbf{p}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{p}}_2$

  • 设${\mathbf{p}}_3={\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2$是$\mathbf{A}$的特征向量,则应存在$\lambda$使得$\mathbf{A}{\mathbf{p}}_3=\lambda {\mathbf{p}}_3$,即${\lambda }_1{\mathbf{p}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{p}}_2=\lambda {\mathbf{p}}_3$

  • 即$({\lambda }_1-\lambda ){\mathbf{p}}_1+({\lambda }_2-\lambda ){\mathbf{p}}_2=0$

  • 由于${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2$线性无关,所以${\lambda }_i-\lambda =0,i=1,2$,所以${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$,这与${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$矛盾,所以不存在这样的$\lambda$

  • 所以${\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2$不是$\mathbf{A}$的特征向量

特征值的重数性质

• 设方阵$\mathbf{A}$的特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$对,若${\lambda }_i$是一个$k_i$重特征值,那么对应于${\lambda }_i$线性无关特征向量的个数$u_i⩽k_i$

  • 其中$\sum k_i=n$

• 推论:记$u(\mathbf{A})=\sum u_i$,一个$n$阶方阵$\mathbf{A}$的线性无关特征向量的个数$u(\mathbf{A})⩽n$