【Luogu】 P5339 [TJOI2019] 唱、跳、rap和篮球

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题目解法

考虑一个套路的想法：
令 $f_i$ 为钦定有 $i$ 个不合法段，其他随便排的方案数
令 $g_i$ 为恰好有 $i$ 个不合法段的方案数
则有 $f_i={\sum }_{j=i}^{...}{g}_j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i}\right)$
二项式反演得：$g_i={\sum }_{j=i}^{...}(-1{)}^{j-i}{f}_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})$
题目只需要求 $i=0$ 的情况，则 $ans={\sum }_{i=0}^{...}(-1{)}^i{f}_i$

考虑求出 $f_i$
令 $tot(a,b,c,d,n)$ 为需要 $n$ 个球，每种颜色有 $a,b,c,d$ 个（$a+b+c+d\ge n$），不同的染色方案数
因为带有排列，所以用 $EGF$ 暴力卷起来肯定可以做，时间复杂度为 $O(n^{2}logn)$
考虑更优的解法
这里有一个重要的优化 $trick$：把前两个颜色分别卷起来，后两个颜色卷起来，然后把两部分再卷起来
具体来说，对于正好 $a+b+c+d=n$ 的情况，方案数为 $\frac{n!}{a!b!c!d!}$
考虑 $g{1}_i$ 维护所有情况的 $\frac{1}{a!b!}$
$g{2}_i$ 维护所有情况的 $\frac{1}{c!d!}$
然后每次添加一个 $a,b,c,d$，然后维护当前添加的贡献即可

时间复杂度 $O(n^2)$

#include 
using namespace std;
const int N=1100,P=998244353;
int n,a,b,c,d,f[N],g1[N],g2[N];
int fac[N],inv[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int qmi(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) res=1ll*res*a%P;
        a=1ll*a*a%P;
    }
    return res;
}
int C(int a,int b){ return 1ll*fac[a]*inv[b]%P*inv[a-b]%P;}
void init(){
    fac[0]=1,inv[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%P;
    inv[N-1]=qmi(fac[N-1],P-2);
    for(int i=N-2;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%P;
}
int main(){
    init();
	n=read(),a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
	int mn=min(n/4,min(min(a,b),min(c,d)));
	a-=mn,b-=mn,c-=mn,d-=mn;
	for(int i=0;i<=a;i++) for(int j=0;j<=b;j++) g1[i+j]=(g1[i+j]+1ll*inv[i]*inv[j])%P;
	for(int i=0;i<=c;i++) for(int j=0;j<=d;j++) g2[i+j]=(g2[i+j]+1ll*inv[i]*inv[j])%P;
    // cout<
	for(int i=mn;i>=0;i--){
		int t=n-4*i;
		for(int j=0;j<=t;j++) f[i]=(f[i]+1ll*g1[j]*g2[t-j])%P;
		f[i]=1ll*C(n-3*i,i)*f[i]%P*fac[n-4*i]%P;
		a++,b++;
		for(int j=0;j<a;j++) g1[j+b]=(g1[j+b]+1ll*inv[j]*inv[b])%P;
		for(int j=0;j<=b;j++) g1[j+a]=(g1[j+a]+1ll*inv[a]*inv[j])%P;
		c++,d++;
		for(int j=0;j<c;j++) g2[j+d]=(g2[j+d]+1ll*inv[j]*inv[d])%P;
		for(int j=0;j<=d;j++) g2[j+c]=(g2[j+c]+1ll*inv[j]*inv[c])%P;
        // cerr<<"+++";
	}
	int ans=0;
	for(int i=0,neg=1;i<=mn;i++,neg*=-1) ans=((ans+neg*f[i])%P+P)%P;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}