编程题四大算法思想（二）——回溯法：N皇后问题、子集和问题、地图填色问题、迷宫问题
文章目录
- 回溯法
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- 迷宫游戏
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- N皇后问题
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- 基本概念
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- 解空间
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- 4后问题的解空间
- 可行解和最优解
- 回溯法
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- 回溯法术语
- 回溯法的关键问题
- 回溯法的基本思想
- 4后问题的约束条件
- n后问题
- 生成问题状态的基本方法
- ==子集和问题==
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- 一个朴素的求解方法
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- 回溯
- 回溯法的剪枝技术
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- 地图填色问题
回溯法
迷宫游戏
深度优先遍历。某一条线路卡死了就回溯回来。
这种回溯思想，和一个完全蛮力的蛮力法相比，它的好处：
1）不用遍历所有的路线；
2）不用每次都从起点开始。
它只是回溯到分叉点的地方，再去选另一条路走，而不是每次都从迷宫起点开始。
不过说白了，回溯法其实就是蛮力法的一种，说白了回溯法也就是个蛮力法。
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主要思想
- 用于发现所有或者部分解的一种通用策略
- 逐步构建部分备选解（partial candidates to the solutions）
- 如果备选解不能成为一个有效的解，则立即放弃该分支
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求可行解问题
- 八皇后问题
- 子集和问题
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求最优解问题
- 0/1背包问题
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回溯法只能用于问题可以分解为部分备选解（partial candidate solutions），并可以快速检验部分备选解是否能够成为一个有效的解。
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如果可行，回溯法一般比蛮力法要快得多，因为回溯法可以排除一群备选解。
N皇后问题
皇后指的就是国际象棋里面那个叫皇后的棋子。
- 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
- n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
- n=1显而易见。n=2、3，问题无解。n>=4时，问题才有意义。
以4后为例
蛮力法
把所有的情况全部列出来。
比如，第一个皇后放在第一行第一列，那么第二个皇后能够放在哪些位置、第三个皇后继而能够放在哪些位置、第四个皇后继而能够放在哪些位置。
第一个皇后放在第一行第二列时，第二、三、四个……放在什么位置。
感觉没说太清楚，但是就是这个意思，通过蛮力法求出所有可能的摆放情况。
总之，可见，n比较小的时候，也许蛮力法还可以，比如七八个皇后，蛮力法勉强也行。但是数量大了以后，就很困难了。
4皇后问题，采用回溯法，求解过程图示
采用深度优先遍历（DFS）。
（你如果要说BFS行不行，也没啥问题，只不过是另一种方式了）
啥意思呢，比如：
第一行，在第一列摆一个皇后。
那么第二行的那个皇后，总共有4种摆法，分别为1、2、3、4。
第二行摆在1——不可行，回退。
第二行摆在2——不可行，回退。
第二行摆在3——可行，进一步讨论：
——第三行摆在1，不可行，回退；
——第三行摆在2，不可行，回退；
——第三行摆在3，不可行，回退；
——第三行摆在4，不可行，回退；
第二行摆在4——可行，进一步讨论：
——第三行摆在1，不可行，回退；
——第三行摆在2，可行，进一步讨论：
————第四行摆在1，不可行，回退；
————第四行摆在2，不可行，回退；
————第四行摆在3，不可行，回退；
————第四行摆在4，不可行，回退。
——第三行摆在3，不可行，回退；
——第三行摆在4，不可行，回退；
至此，对于第一行摆在第一位的所有“进一步讨论”的结果，均无法得到最终可行方案，均回退。
所以，之后又该讨论“第二行摆在位置2”下面所有的可能情况，同理，可行的就进一步讨论，不可行的就排除并回退。
这个问题和走迷宫本质是同样的，走不通就回退并排除，最终找到一个可行的解。
可见，它其实也是在蛮力。只不过它和蛮力还是有区别的：
什么是蛮力法？就是，我即使这个方法已经不可行了，但是我还是要把它下面所有的分支遍历一遍并且讨论一下。
回溯法是，当我这里不可行了，它下面的是什么东西我根本就不去看它了。
所以，回溯法其实就是一种蛮力法，而不是什么高级的办法。只不过是说，回溯法，当我发现这个情况不可行了，那我在它后续的所有结点就不需要去找了。
回溯法就是一种“剪枝”的蛮力法。而纯粹的蛮力法是不剪枝的。
思路大致明白了，再思考一些问题
问题
1、解怎么表示？
2、解如何组织？
3、怎么找到最优解？
除了找到的这1个解，还有没有其他解？——肯定有。因为“对称”的情况，和它是一样的，肯定也是它的解。
而我只搜索到一个解就结束了。后面不管还有没有其他的解，都不看了。
如果找到一个可行解之后，还想找其他的解。
继续使用回溯法查找，就可以得到问题的其他解。
n皇后问题——n-Queens Problem
- 在做4皇后问题时，有没有什么办法可以优化一下问题搜索呢？
刚才也说了，找到一个可行解之后，我们最起码可以用“对称性”再找另外几个解出来。
基本概念
- 解空间
- 可能解
- 可行解
- 最优解
解空间
- 问题的解向量 X = ( x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 ) X=(x_0,x_1,...,x_{n-1}) X=(x0,x1,...,xn−1)——解的表达形式。
- x i x_i xi的取值范围 S i S_i Si， S i = { a i . 0 , a i . 1 , . . . , a i , m i } S_i=\{a_{i.0},a_{i.1},...,a_{i,m_i}\} Si={ai.0,ai.1,...,ai,mi}。
- 问题的解空间由笛卡尔积 A = S 0 × S 1 × . . . × S n − 1 A=S_0×S_1×...×S_{n-1} A=S0×S1×...×Sn−1构成。
4后问题的解空间
例如：4皇后问题：
解向量 x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x=(x_1,x_2,x_3,x_4) x=(x1,x2,x3,x4)：4维的向量。
x i x_i xi表示第 i i i行皇后的列位置，取值范围 S i = { 1 , 2 , 3 , 4 } S_i=\{1,2,3,4\} Si={1,2,3,4}。
解空间——4维向量的全部组合。
可行解和最优解
- 可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集。
区分“可能解”与“可行解”。
- 最优解：使目标函数取极值（极大或极小）的可行解，一个或少数几个。
达到“最优”时的可行解。可能有1个，也可能有少数的几个。
- 找可行解，一般找到就可以，但是找最优解一般要遍历整棵树。
打个比方，比如，一个男的要找个女朋友。
解空间：所有女的。（男的就不在我解空间里面了）
可能解：所有女的里面，哪些跟我是有可能成功的。（比如那些已婚的就不是可能解）
可行解：有一些条件，比如年龄之类的？——满足约束条件的解。（虽然可能，但是得符合我规定的一些条件）
最优解：能够让一些条件达到极值，此时就是最优解。
实际上，由此可见，在“可行解”和“最优解”之间还会有一种“满意解”。
最优解可能不是那么好找，但是光是可行解还感觉不够，可以找一个满意解，尽量能贴近最优解，我就比较满足了。
回溯法
有“通用解题法”之称，将所有的解（问题的解空间）按照一定结构排列，再进行搜索。
- 一般解空间构造成树状结构，用深度优先的策略搜索。
- 两种方式：
- 只需要一个解的话，找到解就停止。
- 需要求所有解，则需做“树的遍历”找到所有解。
- 通常用排除法（剪枝），减少搜索空间。
如果不考虑最后一条，不剪枝，它就是纯蛮力法了。
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给定问题有一个约束集合以及目标函数。
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可以用状态空间树
state space tree来表示解空间。- 状态空间树的根代表了
0个选择的状态。 - 深度为
1的节点代表第1次选择后的状态。 - 深度为
2的节点代表第2次选择后的状态。 - ……
- 状态空间树上一条从根到叶子的路径代表了备选解。
- 状态空间树的根代表了
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可行问题（Feasibility problem）：一些选择可以到达可行的解，一些选择不能达到可行解。
回溯法术语
树由节点组成：
有三种节点：
回溯法就是搜索树中某个特定目标节点。
一些特征
- 树中每个非叶子结点都是一个或是多个其他结点的父结点。
- 树中结点（除了根结点）都只有一个父结点。
回溯法的关键问题
- 结点的含义是什么？（根据问题确定）
- 结点在树中的关系是什么？（根据问题确定）
- 如何产生新的结点？（树的遍历算法）
- 如何判断结点是否是所求解？
这四点实际上不仅仅是回溯法的关键，它其实也是蛮力法的关键。
当然，回溯法实际上还有个第五点：剪枝。
回溯法的基本思想
- 针对所给问题，定义问题的解空间。（定义结点）
- 确定易于搜索的解空间结构。（定义结点关系）
- 以深度优先方式搜索解空间（产生新结点），并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索（尽量少产生新结点）。
常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树。
4后问题的约束条件
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4后问题状态空间树：4叉完全树
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约束方程： 1 ≤ i ≤ 4 ， 1 ≤ j ≤ 4 ， i ≠ j 1≤i≤4，1≤j≤4，i≠j 1≤i≤4，1≤j≤4，i=j
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不在同一列：第
i行皇后列位置与第j行皇后列位置不同，即 x i ≠ x j x_i≠x_j xi=xj。 -
不在同一个斜线上： ∣ x i − x j ∣ ≠ ∣ i − j ∣ |x_i-x_j|≠|i-j| ∣xi−xj∣=∣i−j∣。
则求解过程：
- 向量 x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x=(x_1,x_2,x_3,x_4) x=(x1,x2,x3,x4)表示皇后的布局。分量 x i x_i xi表示第
i行皇后的列位置。 - x i x_i xi的取值范围 S i = { 1 , 2 , 3 , 4 } S_i=\{1,2,3,4\} Si={1,2,3,4}
n后问题
- 解向量： ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1,x2,...,xn)
- 显约束： x i = 1 , 2 , . . . , n x_i=1,2,...,n xi=1,2,...,n
- 隐约束：
- 不同列： x i ≠ x j x_i≠x_j xi=xj
- 不处于同一正、反对角线： ∣ i − j ∣ ≠ ∣ x i − x j ∣ |i-j|≠|x_i-x_j| ∣i−j∣=∣xi−xj∣
bool Queen::Place(int k) { //检查前k行是否合法
for(int j=1; j<k; j++) {
if( abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]) || (x[j]==x[k]) )
return false;
}
return true;
}
void Queen::Backtrack(int t) { //对第t行放置皇后
if(t>n) //当层数大于n时，说明前n行都放好了。可行解的个数+1
sum++;
else {
for(int i=1; i<=n; i++) {
x[t] = i;
if(Place(t))
Backtrack(t+1); //如果可以放置，继续找下一行位置
}
}
}
这样一个递归地遍历的过程，实际上就是一个深度优先的遍历。
生成问题状态的基本方法
- 扩展结点：一个正在产生儿子的结点称为扩展结点。
- 活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的结点称作活结点。
- 死结点：一个所有儿子已经产生的结点称作死结点。
- 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。
- 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。
- 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数（bounding function）来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。
子集和问题
- 问题：给定n个正整数 w 1 , . . . w n w_1,...w_n w1,...wn集合，一个正整数 S S S，找到所有子集，使其和等于 S S S。
举例： n = 3 , w 1 = 2 , w 2 = 4 , w 3 = 6 , S = 6 n=3,w_1=2,w_2=4,w_3=6,S=6 n=3,w1=2,w2=4,w3=6,S=6.
解： { 2 , 4 } a n d { 6 } \{2,4\}and\{6\} {2,4}and{6}
蛮力法：找出集合所有的子集合。——时间复杂度 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)，因此问题规模很大时不适用。
- 为了更好解决问题，利用回溯法。
- 向量 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x=(x_1,x_2,...,x_n) x=(x1,x2,...,xn)表示节点，每个 x i x_i xi的取值范围 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}。
- 使用二叉状态空间树binary state space tree进行回溯
- 深度为0的根结点：表示0个元素的集合的和
- 深度为1的结点是包括元素1或者不包括元素1
- 对每个深度为 i − 1 i-1 i−1的结点，左分支包括 w i ( ′ y e s ′ ) w_i('yes') wi(′yes′)，右分支包括 w i ( ′ n o ′ ) w_i('no') wi(′no′)。
- 每个结点赋予一个值，表示当前求和大小。
但是至此，这说的还是纯粹的穷举法啊。
一个朴素的求解方法
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构造二叉状态空间树
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检查每个叶子结点，该结点的值是否是 S S S，如果是，返回从根到叶子结点的路径。
- 检查可以在构造树的时候进行，也可以在树构造好之后进行。
- 问：既然可以在构造树的时候进行，那为什么还要在树构造好之后进行？
- 答：也许我们想求得对于 S S S不同的子集。
- 检查可以在构造树的时候进行，也可以在树构造好之后进行。
-
要找到所有的解，我们要用一种方法来系统地遍历整个树。
注意：叶子结点之间没有指针相连。
我们先对这些正整数做一个排序，这样对我们之后的工作有好处。
把整个树已经构建出来了，这个就是我们的状态空间树。
接下来，我们对这棵树做深度优先搜索。
深度优先搜索
- 使用深度优先搜索（Depth First Search，DFS）以找到所有的正确的解。
- DFS：
- 开始从根搜索。
- 搜索从最近访问的结点v到下一个新的结点
- 如果该结点的左子结点还没有被访问，访问该左子结点
- 否则，如果该结点的右子结点还没有被访问，访问该右子结点
- 否则，如果v是叶子结点，或者v的所有子树都已经被访问，返回v的父结点
- 直到所有结点都被访问。
深度优先搜索的算法此处就不展开讲了，应该是会的。
DFS(v) if v = NIL return explore(v) DFS(left(v)) DFS(right(v))
初始调用： D F S ( T . r o o t ) DFS(T.root) DFS(T.root)。
那好，我对这棵树做深度优先搜索，我找到为6的结点了，那这个结点再往下的任何子结点我都不需要再去看了。
然后继续深度优先遍历其余的地方，一直找找找……。后面的遍历过程中可能又找到了一个为6的结点。
**注意：**这里就体现刚才所说的，检查每个叶子结点，该结点的值是否是 S S S，如果是，返回从根到叶子结点的路径。**检查可以在构造树的时候进行，也可以在树构造好之后进行。**这个道理了。
如果你是在构建树的过程中检查，就会导致：我构建的过程中构建了一个
6出来，我就结束了，其他的我全都不管了。而如果我是在构造完毕整个树之后，才去做深度优先进行检查，就能找到所有的情况了。
- 用DFS找到子集和问题的所有解
- 在DFS中，检查结点v是否是叶子结点
- 如果是叶子结点，检查当前和是否是S
- 问题：非常慢
- 有n个输入项的树，有 2 n 2^n 2n叶子结点。
比如上面那个例子，
我每次判断
sum < S，若符合，则继续向下面去深度遍历，否则就不必继续。但即使这样，我仍旧会有大量的路要走，所花费的代价还是很高。
这个时候，我们就运用我们的回溯法，加速它。
回溯
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用回溯法加速DFS算法，以避免访问没有希望的结点。
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如果该结点不能产生一个可行解，那么该结点是没有希望的
non-promising。否则该结点就是有希望的promising。 -
主要思路：
- 在状态空间树上做深度优先搜索
- 检查该结点是否是有希望的
- 如果该结点是没有希望的，返回其父结点
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包含被访问结点的子树被称为被剪枝状态空间树
pruned state space tree。
回溯法的剪枝技术
因为我们可供选择的数字是经过递增排序过了的。
所以对于第四层的
12来说，它再往下不可能加出13来，它就是没有希望的。其他结点同理。
Checknode(v) //v is a node
if(promising(v))
if(aSolutionAt(v))
output the solution
else //expand the node
for each child u of v
Checknode(u)
promising(v)检查v代表的部分解是否还有可能产生有效的解。aSolutionAt(v)检查v代表的部分解是否解决了问题。
那具体到底是如何判断有没有希望的？
地图填色问题
我们要想办法让这个树的规模变小，提高效率。
