傅里叶级数展开及系数项求解

对于一个周期函数 $f(x)$: 若满足狄利克雷条件，即在一个周期中，只有有限个第一类间断点以及有限个极值点，则这个函数可以展开成傅里叶级数，若这个傅里叶级数处处收敛于 $f(x)$，则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式，即：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),x\in [-\pi ,\pi ]$$
其中：
$$\{\begin{array}{ll}& a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx\\ & \\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx\\ & \\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx\end{array}$$