Python的itertools工具与排列组合

基础知识

排列组合问题在中学数学中有所介绍，其中排列是考虑顺序的，组合是无顺序的。
譬如甲乙丙三个人，安排其中两个人去完成任务，可以有的组合方法有：甲乙、甲丙、乙丙，共 3 种。可以用数学记号来表示。
如果是安排他们三人选两人来拍照，而且拍照考虑站位的顺序，那么就有 6 种，可以用数学记号来表示。

对于个互不相同的元素，从其中选取个，那么
组合数为

排列数为

基本算法

组合问题

如果是输出全部的组合，我们可以用二进制的思路。譬如安排甲乙丙丁去参加活动：

0000代表谁都不去
0001代表丁去，其它人不去
0010代表丙去，其它人不去
0011代表丙丁去，甲乙不去
…… 以此类推，一共种情况。

如果是要从个人中挑选个，我们可以用深度优先搜索的方法。对于第 0 个人，我们可以分别讨论它进入不进入；对于第 1 个……

排列问题

一般使用回溯法，需要用vis数组来存储哪些人已经加入了排列。

以上都是传统与套路化的算法。在一般的算法题中常见，但是在开发过程中，我们不妨调用现有的库。

Python的itertools工具

Python提供了迭代工具itertools，可以很灵活地处理排列组合问题。

itertools提供了三个方面的工具，分别是：

无穷迭代器
根据最短输入序列长度停止的迭代器
排列组合迭代器
本文主要关注排列组合迭代器。
它包含四个迭代器：
product() 笛卡尔积
permutations() 排列
combinations() 组合
combinations_with_replacement 可以重复使用同一个元素的组合

product()

所谓笛卡尔积，指的是有集合和，其各出一个元素，考虑所有的情况，得到的新集合：

product()实现笛卡尔积，例如

import itertools

for elem in itertools.product("ABCD", "123"):
    print(elem, end=" ")

输出('A', '1') ('A', '2') ('A', '3') ('B', '1') ('B', '2') ('B', '3') ('C', '1') ('C', '2') ('C', '3') ('D', '1') ('D', '2') ('D', '3')
其中的每一个elem是一个元组，这样输出看起来不舒服，改为

for elem in itertools.product("ABCD", "123"):
    print(elem[0] + elem[1], end=" ")

输出A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3，类似于地铁出站口有ABCD四个，每个都有123的子出口。

可以迭代的对象都可以作为参数传入，例如

for elem in itertools.product(['语文','数学','英语'], range(1,7)):
    print(elem[0] + str(elem[1]), end=" ")

输出语文1 语文2 语文3 语文4 语文5 语文6 数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 数学6 英语1 英语2 英语3 英语4 英语5 英语6。

product()可以实现自己对自己的笛卡尔积。使用repeat参数来重复：

for elem in itertools.product("ABCD", repeat=2):
    print(elem[0] + elem[1], end=" ")

输出AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD

permutations()

permutations()实现排列，排列是区分顺序的。

例如

for elem in itertools.permutations("ABCD", 2):
    print(elem[0] + elem[1], end=" ")

输出AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC。

combinations()

combinations()实现组合，组合不区分顺序。

例如

for elem in itertools.combinations("ABCD", 2):
    print(elem[0] + elem[1], end=" ")

输出AB AC AD BC BD CD

combinations_with_replacement()

combinations_with_replacement()实现可以重复利用同一个元素的组合。譬如我现在有ABCD四个人，我需要去办两个事，我可以请同一个人去办两次。

for elem in itertools.combinations_with_replacement("ABCD", 2):
    print(elem[0] + elem[1], end=" ")

输出AA AB AC AD BB BC BD CC CD DD