[学习笔记]斜率优化dp 总结
前言：
我们学过不少优化类的算法了，大部分都是基于凸函数的性质给出的优化，比如Slope Trick，Wqs二分，又比如今天的斜率优化（不知道什么时候会有空把Slope Trick写掉）
正文：
我们考虑一类比较常见的dp方程： d p i = m i n / m a x j ( a i ∗ b j + c j + d i ) dp_i=min/max_{j}(a_i*b_j+c_j+d_i) dpi=min/maxj(ai∗bj+cj+di),其中 b j b_j bj是单调增的（事实上 b j b_j bj不单调增也可以用斜率优化处理，但是这里我们为了简化先考虑这样一种特殊情况）。同时，为了方便，接下来我们先以min为讨论对象，实际上max是同理的，读者可以自己对应手推一遍
一般的暴力递推，复杂度是 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)的。
我们考虑改变一下式子的形式： d p i = m i n j { a i ∗ b j + c j } + d i dp_i=min_{j}\{a_i*b_j+c_j\}+d_i dpi=minj{ai∗bj+cj}+di,此时对于固定的 i i i,外面的 d i d_i di是固定的，所以我们真正要考虑的其实是 a i ∗ b j + c j a_i*b_j+c_j ai∗bj+cj这样一个式子的最小值，它其实就是一个一次函数 k x + b kx+b kx+b的形式，其中 k = b j , b = c j k=b_j,b=c_j k=bj,b=cj。我们不妨记 f i , j = a i ∗ b j + c j f_{i,j}=a_i*b_j+c_j fi,j=ai∗bj+cj
凸包
我们不妨来看一下，如果两个点 x < y x
f ( i , y ) = a i ∗ b y + c y ≤ f ( i , x ) = a i ∗ b x + c x f(i,y)=a_i*b_y+c_y\leq f(i,x)=a_i*b_x+c_x f(i,y)=ai∗by+cy≤f(i,x)=ai∗bx+cx
即： c y − c x b y − b x ≤ − a i \large \frac{c_y-c_x}{b_y-b_x}\leq -a_i by−bxcy−cx≤−ai(注意之前我们假定 b i b_i bi是单增的)
这里是在做一个参变分离，注意这里我们其实是将x,y的信息视为已知量，而将i作为变量
放到二维坐标系下考虑，就是 ( b x , c x ) , ( b y , c y ) (b_x,c_x),(b_y,c_y) (bx,cx),(by,cy)两个点的连线的斜率 ≤ − a i \leq -a_i ≤−ai
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换句话说，这里如果x是y之前的比较优的一个点，在y出现之后它就被淘汰了，判断的条件我们记为 k x y < = K ( X ) k_{xy}<=K(X) kxy<=K(X),其中 K ( X ) = − a i K(X)=-a_i K(X)=−ai。
接着我们将考虑的点数扩大到三个点 x ≤ y ≤ z x\leq y \leq z x≤y≤z,这里我们不妨先限定 K y z ≤ K x y K_{yz}\leq K_{xy} Kyz≤Kxy
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边界条件还是 K ( X ) = − a i K(X)=-a_i K(X)=−ai
按照之前的讨论，对于两个点 x , y x,y x,y,若 k x , y ≤ K ( x ) k_{x,y}\leq K(x) kx,y≤K(x),则点 y 优于 x y优于x y优于x,否则 点 x 优于 y 点x优于y 点x优于y
那么我们有如下几种情况：
- K y z < K x y ≤ K ( X ) K_{yz}
- K y z ≤ K ( X ) < K x y K_{yz}\leq K(X)
- K ( X ) ≤ K y z < K z y K(X)\leq K_{yz}
此时我们惊奇地发现，不管是哪一种情况，点 y y y都不可能作为最优解。按照之前所说，我们其实是对于这样一系列固定的点，对于不同的i，考察最优决策点的变化。也就是说，如果我们提前处理好了这样若干个点，那么我们就已经知道点y永远不会成为最优决策点了（在三个点都能选择的情况下）
讲回我们在这部分讨论前做的假设 K y z ≤ K x , y K_{yz}\leq K_{x,y} Kyz≤Kx,y,读者可以自行验证，当三点不满足该关系的时候，我们并不能得到类似或者什么更优的结论。
那么我们对于一个固定的点i，将所有能进行决策的点进行这样一个预处理过程的话（大部分情况下对于固定的点i，我们只能够在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1]内决策，这里直接取该情况，其它情况其实同理）， ∀ 1 ≤ x < y < z < i \forall 1\leq x
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最优决策点的快速寻找
一旦要维护的东西变成了一个凸包，那么我们的手段就可以很骚了，因为此时它的斜率具有单调性，我们就可以上二分等手段了
对于一个固定的i，我们有 K ( X ) = − a i K(X)=-a_i K(X)=−ai,由于下凸包的斜率是单增的，所以将斜率从左到右一一写出来的话，我们会得到如下关系
K 1 < K 2 < . . . < K s ≤ K ( X ) < K s + 1 . . . K m K_1
那么我们要找的点显然就是s，也就是最后一个与前面的点连线的斜率 ≤ K ( X ) \leq K(X) ≤K(X)的点
那么我们维护好这个凸包之后，直接用二分线段即可，最后一个斜率 ≤ K ( X ) \leq K(X) ≤K(X)的线段的右端点就是答案了
考虑凸包的一个特殊情况：多个点处于一条线段上，就如上图的第二条线段，但是该情况对我们的选择并没有影响，因为我们取的是每一个线段的最右端点
这样每次去寻找最优决策点的复杂度是 O ( l o g ) O(log) O(log)的，再加上维护凸包的复杂度 O ( N ) O(N) O(N),时间复杂度就是 O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)的
具体流程:
-
A 在凸包上二分找到最优决策点x
-
B 用x的值更新 d p i dp_i dpi
-
C 在将i加入凸包之前，我们要先将队尾一部分一定没有i优的点踢掉，然后再将i加入凸包
对步骤C的解释：这里将i直接加入凸包的话，有可能我们维护的就不再是一个凸包了，如下图情况
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不难发现，此时 x , y , i x,y,i x,y,i三点形成的就是之前讨论过的三个点的情形，所以y是一定不会成为最优决策点的。同理，踢掉y之后，如果 z , x , i z,x,i z,x,i也是一个情况的话，x也会被踢掉，直到最后不再有这样的点为止
再优化
注意到上面的复杂度还是有点高，我们考虑dp过程中常见的决策单调性情况
决策单调性：在dp过程中，设 S i 表示 d p i S_i表示dp_i Si表示dpi的最优决策点，如果 ∀ i < j , S i ≤ S j \forall i
关于决策单调性的证明，常见的就是四边形不等式，这里暂且不提，后面有空再说:)
决策单调性在这里意味着什么？意味着之前已经被淘汰的点是不会再作为最优决策点出现的。所以我们就可以考虑用单调队列来维护。
具体流程：
- A 将队列首部斜率 ≤ K ( X ) \leq K(X) ≤K(X)的线段的左端点不断踢出，最后剩下的队首元素x就是最优决策点。（正确性显然）
- B 用x的值更新 d p i dp_i dpi
- C 在将i加入凸包之前，我们要先将队尾一部分一定没有i优的点踢掉，然后再将i加入凸包
与直接二分的区别就在于步骤A
同时我们注意到，如果 K ( X ) K(X) K(X)是单调的，其自然满足决策点的单调性。（在横坐标单调的前提下）
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类型总结（单调队列维护凸包）
当dp式子满足 c y − c x b y − b x ≤ − a i \large \frac{c_y-c_x}{b_y-b_x}\leq -a_i by−bxcy−cx≤−ai的时候，我们要维护的是一个下凸包
ll hd=1,tl=0;
que[++tl]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(hd<tl&&Slope(que[hd],que[hd+1])<=k[x]) hd++;//这里k[x]表示K(X)
dp[i]=...//用que[hd]来更新dp[i]即可
while(hd<tl&&Slope(que[tl-1],que[tl])>=Slope(que[tl],i)) tl--;
que[++tl]=i;//插入凸包
}
当dp式子满足 c y − c x b y − b x ≥ − a i \large \frac{c_y-c_x}{b_y-b_x}\geq -a_i by−bxcy−cx≥−ai的时候，同理就是维护一个上凸包
ll hd=1,tl=0;
que[++tl]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(hd<tl&&Slope(que[hd],que[hd+1])>=k[x]) hd++;//这里k[x]表示K(X)
dp[i]=...//用que[hd]来更新dp[i]即可
while(hd<tl&&Slope(que[tl-1],que[tl])<=Slope(que[tl],i)) tl--;
que[++tl]=i;//插入凸包
}
Tip
- 当两个点的横坐标相等的时候，实际上不存在斜率，这里我们要特判，取为inf
- 到底维护的是上凸包还是下凸包不要弄混，仔细推导一遍最好
- 一般是直接用double类型来计算斜率并进行比较，但是有时候出题人不讲武德卡精度，那就要转成乘式类型来比较了，这时候要注意一下负号改变方向的情况
- 队列一开始要放进去一个0，毕竟也不一定非有上一个转移点
- 有时候dp值会需要预处理，要小心
- 比较斜率的时候最好使用 ≤ , ≥ \leq,\geq ≤,≥
一些特殊情况
- b j b_j bj是单调减的：实际与之前的情况同理。在一开始的推导中我们假定 x < y x
x<y ，本质上就是为了保证 b j b_j bj是单增的，如果此时它是单减的，我们只要在原本的式子中在对应位置取负，再改变前面符号，重新推导即可。此时 − b j -b_j −bj就是单增的了 - b j b_j bj不具备单调性：此时我们不能直接通过单调队列来维护凸包，因为新加入的点的横坐标并不是单调的，可能会插入在凸包的中间的位置。此时需要采用cdq分治
- 不具备决策单调性：那就只能二分了，不能强行弹出点，因为它可能在后面会成为最优决策点
- 不具备决策单调性&横坐标不单调：cdq分治 后面会讲
例子
仓库建设
大意：
n n n 个工厂，由高到低分布在一座山上，工厂 1 1 1 在山顶，工厂 n n n 在山脚。第 i i i 个工厂目前已有成品 p i p_i pi 件，在第 i i i 个工厂位置建立仓库的费用是 c i c_i ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），一件产品运送一个单位距离的费用是 1 1 1。
- 工厂 i i i 距离工厂 1 1 1 的距离 x i x_i xi（其中 x 1 = 0 x_1=0 x1=0）。
- 工厂 i i i 目前已有成品数量 p i p_i pi。
- 在工厂 i i i 建立仓库的费用 c i c_i ci。
问修建仓库的最小代价
思路：
设 d p i dp_i dpi表示前i个工厂的最小代价，写出dp式子的过程还是比较套路的，
d p i = m i n j ≤ i { d p j + x i ∑ k = j + 1 i ( p k ) − ∑ k = j + 1 i ( x k p k ) } + c i dp_i=min_{j\leq i}\{dp_j+x_i\sum_{k=j+1}^{i}(p_k)-\sum_{k=j+1}^{i}(x_kp_k) \}+c_i dpi=minj≤i{dpj+xi∑k=j+1i(pk)−∑k=j+1i(xkpk)}+ci
转化得到
d p i = m i n j ≤ i { d p j + x i ( s u m i − s u m j ) − ( x s u m i − x s u m j ) } + c i dp_i=min_{j\leq i}\{dp_j+x_i(sum_i-sum_j)-(xsum_i-xsum_j)\}+c_i dpi=minj≤i{dpj+xi(sumi−sumj)−(xsumi−xsumj)}+ci
其中 s u m i = ∑ k = 1 i p k , x s u m i = ∑ k = 1 i p k ∗ x k sum_i=\sum_{k=1}^{i}p_k,xsum_i=\sum_{k=1}^{i}p_k*x_k sumi=∑k=1ipk,xsumi=∑k=1ipk∗xk
所以 d p i = m i n j ≤ i { − s u m j x i + ( d p j + x s u m j ) } + x i s u m i − x s u m i + c i dp_i=min_{j\leq i}\{-sum_jx_i+(dp_j+xsum_j)\}+x_isum_i-xsum_i+c_i dpi=minj≤i{−sumjxi+(dpj+xsumj)}+xisumi−xsumi+ci
这里 s u m j sum_j sumj是单调增的
考虑 a < y b a
令 f j = d p j + x s u m j f_j=dp_j+xsum_j fj=dpj+xsumj
− s u m b x i + f b ≤ − s u m a x i + f a -sum_bx_i+f_b\leq -sum_ax_i+f_a −sumbxi+fb≤−sumaxi+fa
f b − f a s u m b − s u m a ≤ x i \frac{f_b-f_a}{sum_b-sum_a}\leq x_i sumb−sumafb−fa≤xi,这里我们要维护的就是一个下凸包了，并且斜率 K ( X ) = x i K(X)=x_i K(X)=xi是单调增的
因此直接套板子即可
#includePS:此题有其它坑点，读者自己小心~
[USACO08MAR] Land Acquisition G
大意：
将 n n n块土地分组，每组的价格是这组土地中最大的长宽乘积，问买下所有土地的最小花费。
思路：
个人感觉一开始的思路还是有点妙的
不妨按照长升序排序，如果长相同就宽升序
从前往后遍历的时候，考虑 i < j i
考虑 d p i dp_i dpi表示排序弹出处理之后前i个土地的最小值：
d p i = m i n j ≤ i { d p j + b j + 1 a i } dp_i=min_{j\leq i}\{dp_j+b_{j+1}a_i\} dpi=minj≤i{dpj+bj+1ai},其中 a a a表示长， b b b表示宽
这里 b j b_j bj在处理之后是降序的，我们可以转化成 d p i = m i n j ≤ i { d p j − b j + 1 ′ a i } , b j ′ = − b j dp_i=min_{j\leq i}\{dp_j-b'_{j+1}a_i\},b'_j=-b_j dpi=minj≤i{dpj−bj+1′ai},bj′=−bj
考虑 x < y x
− b y ′ a i + d p j ≤ − b x ′ a i + d p x -b'_ya_i+dp_j\leq -b'_xa_i+dp_x −by′ai+dpj≤−bx′ai+dpx
d p x − d p y b x ′ − b y ′ ≤ a i \frac{dp_x-dp_y}{b'_x-b'_y}\leq a_i bx′−by′dpx−dpy≤ai，还是维护一个下凸包，并且斜率 a i a_i ai是单增的，所以也是直接套板子
#include
dp[i]=dp[que[hd]]+st[que[hd]+1].b*st[i].a;
while(hd<tl&&Slope(que[tl-1],que[tl])>Slope(que[tl],i)) tl--;
que[++tl]=i;
}
cout<<dp[top]<<endl;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
solve();
return 0;
}
[ZJOI2007]仓库建设
大意：
本人太懒。。。
思路：
这题就是需要cdq分治的题了
考虑 f i f_i fi表示第i天能够获得的最大钱数， g i g_i gi表示第i天最多能买多少张B券
则 g i = f i r i a i + b i \large g_i=\frac{f_i}{r_ia_i+b_i} gi=riai+bifi
故 f i = m a x { m a x j ≤ i − 1 { g j b i a i + r j g j } ∗ a i , f i − 1 } f_i=max\{max_{j\leq i-1}\{g_j\frac{b_i}{a_i}+r_jg_j\}*a_i,f_{i-1}\} fi=max{maxj≤i−1{gjaibi+rjgj}∗ai,fi−1}
外层的max我们可以直接特判，内层的max就是一个典型的斜率优化dp了。
考虑 g x < g y g_x
g x b i a i + F x ≥ g y b i a i + F y g_x\frac{b_i}{a_i}+F_x\geq g_y\frac{b_i}{a_i}+F_y gxaibi+Fx≥gyaibi+Fy
即 F x − F y g x − g y ≤ − b i a i \large \frac{F_x-F_y}{g_x-g_y}\leq -\frac{b_i}{a_i} gx−gyFx−Fy≤−aibi
实际还是一个下凸包。这里横坐标是 g j g_j gj,纵坐标是 F j F_j Fj,斜率是 − b i a i -\frac{b_i}{a_i} −aibi
横坐标不是单调的，斜率也不是单调的，看起来不是能用普通凸包来维护的样子。所以我们可以使用cdq分治
想要用单调队列维护凸包的话，我们实际上有三维偏序：
- 对于每一个i，它的决策点是 { j ∣ j < i } \{j|j
- 维护凸包的时候，如果x先于y加入凸包，要满足 g x < g y g_x
gx<gy - 凸包查询最优决策点的时候，如果x先于y查询，要满足 K ( x ) < K ( y ) K(x)
显然，三维偏序正是cdq分治的拿手好戏~
- 第一关键字：首先将点按照斜率升序排序，能够保证查询的斜率递增，从而能用单调队列维护
- 第二关键字：分治时按照id分成左右两个部分。这样保证最后递归到叶子节点的时候是符合原本顺序的，且斜率查询的时候保证都是维护的点的id都是在自己之前的（其实就是一个归并排序）
- 第三关键字：x 每次分治结束之后内部不再有贡献，所以我们可以直接按照横坐标升序排序方便后面维护凸包
我们会发现这样处理之后就能够实现三维偏序了。
cdq分治的灵魂是用前半部分的信息来统计对后半部分的贡献，当一段区间分治结束之后，这段区间内的信息就全部处理完了，换句话说，区间内部的点之间是不会再产生贡献了，因此我们才可以随意更改该区间内部的点的顺序。将其按照横坐标排序，我们才能进行凸包的维护。同时，以横坐标为关键字的排序我们可以直接sort，但是也可以采用归并排序
最后，求出 f i f_i fi之后，再与 f i − 1 取 m a x f_{i-1}取max fi−1取max，并更新 g i g_i gi
具体流程：
- if(l==r) 更新，退出
- 按照id分成左右两部分 [ l , m i d ] , ( m i d , r ] [l,mid],(mid,r] [l,mid],(mid,r]
- cdq(l,mid)
- 此时 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid]已经处理好了，所以用单调队列对 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid]建凸包
- ( m i d , r ] (mid,r] (mid,r]区间此时是以 − b i a i \frac{-b_i}{a_i} ai−bi升序,所以按顺序更新即可，并更新凸包
- cdq(mid+1,r)
- 按照横坐标对 [ l , r ] [l,r] [l,r]进行归并，因为该区间内部不会再有互相的贡献了
#include 后记
斜率优化dp在大部分情况下都是结合决策单调性进行的（大部分），所以也比较套路
另外还有结合Wqs二分来处理前n个数限定分m段的情况等的套路，个人感觉决策单调性优化的水还是有点深的，有空会试试写一期总结
加油~