第五章 树与二叉树 五、哈夫曼树（定义与构造方法），哈夫曼编码

一、带权路径长度

1.结点的权:有某种现实含义的数值（如:表示结点的重要性等）

2.结点的带权路径长度:从树的根到该结点的路径长度(经过的边数）与该结点上权值的乘积。

3.树的带权路径长度:树中所有叶结点的带权路径长度之和。（WPL）

二、例子

1.

所有叶子节点的带权路径之和

WPL=（1*2）+（3*2）+（4*2）+（5*2）= 26

2.

WPL=（5*1）+（4*2）+（3*3）+（1*3）= 25

定义：我们知道，每个二叉树都可以有多种不同的表示方法，其中，在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL）)最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。

三、哈夫曼树的构造

描述：

1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F

2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，开且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。

3）从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。

4)重复步骤2）和3），直至F中只剩下一棵树为止。

例子：假设我们有如下几个结点

1.我们找出两个根权值之和最小的结点进行结合，也就是a，c，把它们的权相加，形成新的结点。

3.再次找两个根权值之和最小的相加

4.反复这个过程（n-1次）n为原始结点数，最终得到

WPL=7+6+6+4+8=31

1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。

2）哈夫曼树的结点总数为2n -1。

3）哈夫曼树中不存在度为1的结点。

4）哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优。

四、哈夫曼编码

定义：

由哈夫曼树得到哈夫曼编码――字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树。

用途：

用于压缩数据。
 

1、固定长度编码――每个字符用相等长度的二进制位表示

2、可变长度编码――允许对不同字符用不等长的二进制位表示

（1）若一个编码是另一个编码的前缀，那么解码时可能会发生歧义

（2）若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码

这种编码不会发生歧义