2023杭电多校第一场 1010.Easy problem I

传送门:Vjudge

前题提要:显然这是一道考验码力的线段树题.打出这道题需要一定的熟练度以及平静的心态

首先观察操作一,发现对于每一次更改的数都有一个很严格的性质,就是后面的数比前面的数大.
考虑对一个数$x$不断的进行操作一会发生什么.
我们的$x$,刚开始会不断的减去$a[i]$,然后有一瞬间,我们的$x$此时小于$a[i]$,那么此时我们会得到$a[i]-x$,然后因为后面的都比$a[i]$大,所以对于后面的每一次操作来说,就是对x进行取反然后加上$a[i]$
简单总结一下,对一个数不断的进行操作一,刚开始相等于直接减,一旦当这个数小于减数之后,继续进行操作一相当于对该数进行取反再加上减数
此时就会发现对于两段的单独操作,其实我们都是可以使用线段树来维护的.
所以考虑如何分开维护两个区间.刚开始我的想法是将一个区间打上一个标记,看它属于第几类区间,然后维护的时候分类维护,但是这种想法实际维护起来十分的麻烦.所以我们换一种想法,我们可以维护一个区间内有多少个数是第一类,多少个数是第二类,诶,这样我们维护起来就方便很多了,因为这样每一次修改,我们的两类区间都可以直接互不干扰的进行修改..

对于每一次操作1,我们对区间内的两类数分别进行维护,相当于同时维护两颗线段树.对于第一类区间,若该区间的最小值大于我们的$ai$,说明我们可以直接对整个区间进行区间减操作.若该区间的最小值小于我们的$ai$,说明存在至少一个位置达到了第一类区间和第二类区间的转化界限.此时我们考虑暴力进行单点修改.对于每一个数最多只有一次改变类型的机会,所以整体的暴力修改复杂度是O(n)的.
对于第二类区间,我们每一次操作相当于取负+val,对于这种操作,相当于乘+加的同时维护.如果你忘了如何维护,请移步模板线段树 2

对于这道题,我感觉最重要的一点是想到通过维护区间两类数的个数来拆分我们的维护区间,其实想到了这一点,此题就不难解决.

具体实现细节看代码(将提供必要注释)

下面是具体的代码部分:

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}
inline void print(__int128 x){
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
struct Segment_tree{
	int l,r;
	int cnt1,cnt2;//记录区间有几个1类数,几个二类数
	int sum1,mn,add1;//1类数区间加需要,分别代表区间和,区间最小值
	int sum2,mul,add2;//2类数区间加需要
}tree[maxn<<2];int a[maxn];
void pushup(int rt) {//普普通通的回溯
	tree[rt].cnt1=tree[ls].cnt1+tree[rs].cnt1;
	tree[rt].cnt2=tree[ls].cnt2+tree[rs].cnt2;
	tree[rt].sum1=tree[ls].sum1+tree[rs].sum1;
	tree[rt].sum2=tree[ls].sum2+tree[rs].sum2;
	tree[rt].mn=min(tree[ls].mn,tree[rs].mn);
}
void build(int l,int r,int rt) {//普普通通的建树
	tree[rt].l=l;tree[rt].r=r;
	tree[rt].mn=ll_INF;tree[rt].mul=1;tree[rt].add1=tree[rt].add2=0;
	if(l==r) {
		tree[rt].cnt1=1;tree[rt].mn=a[l];tree[rt].sum1=a[l];
		tree[rt].cnt2=0;tree[rt].sum2=0;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lson);build(rson);
	pushup(rt);
}
void change1(int rt,int val) {//辅助区间修改1
	tree[rt].sum1-=tree[rt].cnt1*val;//注意此处需要使用区间的实际个数而不是区间长度
	tree[rt].mn-=val;tree[rt].add1+=val;
}
void change2(int rt,int mul,int val) {
	tree[rt].sum2=tree[rt].sum2*mul+val*tree[rt].cnt2;
	tree[rt].mul*=mul;tree[rt].add2=tree[rt].add2*mul+val;
}
void pushdown(int rt) {//普普通通的下放懒标记
	if(tree[rt].add1) {
		change1(ls,tree[rt].add1);change1(rs,tree[rt].add1);
		tree[rt].add1=0;
	}
	if(tree[rt].mul||tree[rt].add2) {
		change2(ls,tree[rt].mul,tree[rt].add2);
		change2(rs,tree[rt].mul,tree[rt].add2);
		tree[rt].add2=0;tree[rt].mul=1;
	}
}
void update1(int l,int r,int rt,int val) {//区间修改第一类数
	if(tree[rt].l==l&&tree[rt].r==r) {
		if(tree[rt].mn>=val) {
			change1(rt,val);
			return ;
		}
		else{
			if(tree[rt].l==tree[rt].r) {//此处为暴力修改,我们将这个点的类型从1改到2
			//所以此时的sum1应该为0,因为这个点不再为第一类进行贡献
			//此时的mn置位正无穷是因为之后都不用在保留修改这个点了,那不妨置为正无穷
			//反正它的父亲节点的cnt1已经没有它的贡献了,所以直接进行区间减也无妨
				tree[rt].sum2=-(tree[rt].sum1-val);tree[rt].cnt2=1;
				tree[rt].mn=ll_INF;tree[rt].cnt1=0;tree[rt].sum1=0;
				return ;
			}
		}
	}
	pushdown(rt);
	int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;
	if(r<=mid) update1(l,r,ls,val);
	else if(l>mid) update1(l,r,rs,val);
	else update1(l,mid,ls,val),update1(mid+1,r,rs,val);
	pushup(rt);
}
void update2(int l,int r,int rt,int val) {//区间修改第二类数
	if(tree[rt].l==l&&tree[rt].r==r) {
		change2(rt,-1,val);
		return ;
	}
	pushdown(rt);
	int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;
	if(r<=mid) update2(l,r,ls,val);
	else if(l>mid) update2(l,r,rs,val);
	else update2(l,mid,ls,val),update2(mid+1,r,rs,val);
	pushup(rt);
}
int query(int l,int r,int rt) {
	if(tree[rt].l==l&&tree[rt].r==r) {
		return tree[rt].sum1+tree[rt].sum2;
	}
	pushdown(rt);
	int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;
	if(r<=mid) return query(l,r,ls);
	else if(l>mid) return query(l,r,rs);
	else return query(l,mid,ls)+query(mid+1,r,rs);
}
signed main() {
	int T=read();
	while(T--) {
		int n=read();int m=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			a[i]=read();
		}
		build(root);
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			int opt=read();
			if(opt==1) {
				int l=read();int r=read();int val=read();
				update2(l,r,1,val);
				update1(l,r,1,val);
			}
			else {
				int l=read();int r=read();
				printf("%lld\n",query(l,r,1));
			}
		}
	}
	return 0;
}