最小生成树（Kruskal）算法

定义：

     一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 [1]  最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

应用：

    例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

性质：

  说明

最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。

证明（引用百度）

         为方便说明，先作以下约定：

①将集合U中的顶点看作是红色顶点，②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点，③连接红点和蓝点的边看作是紫色边，④权最小的紫边称为轻边（即权重最"轻"的边）。于是，MST性质中所述的边（u，v）就可简称为轻边。

        用反证法证明MST性质：

假设G中任何一棵MST都不含轻边（u，v）。则若T为G的任意一棵MST，那么它不含此轻边。

根据树的定义，则T中必有一条从红点u到蓝点v的路径P，且P上必有一条紫边（u'，v'）连接红点集和蓝点集，否则u和v不连通。当把轻边（u，v）加入树T时，该轻边和P必构成了一个回路。删去紫边（u'，v'）后回路亦消除，由此可得另一生成树T'。

T'和T的差别仅在于T'用轻边（u，v）取代了T中权重可能更大的紫边（u'，v'）。因为w(u，v）≤w(u'，v'），所以

w(T')=w(T)+w(u，v)-w(u'，v'）≤w(T)

即T'是一棵比T更优的MST，所以T不是G的MST，这与假设矛盾。

所以，MST性质成立。 [1]

 

Kruskal算法简述：

   说简单点： n个顶点，组成的最小生成树n-1条边，连接着这n个顶点，使得任意两个点之间都能到达且选出n-1条边和最小的方案（不含环），把n个顶点想成n颗树，最终把n个顶点连成一棵树，每次取权值最小的边（所以第一步是给所有的边按从小到大排序），判断是否在属于一棵树，属于则pass，不属于则选中，如此下去直到所有的点都在一棵树上即完成了这颗最小生成树

 难点重点剖析：判断是否属于一棵树可以使用状态压缩（并查集），效率高

 

附上伪代码：

//所有的边排序
//初始化MST为空
//初始化连通分量，使每个点各自成为一个独立的连通分量

for (int i = 0; i < m; i++) {
    if (e[i].u和e[i].v不在同一连通分量) {
        把边e[i]加入ＭＳＴ
        合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量 
    }
}

   

   

    分析上图配合伪代码，1 2  3 4 5 6都各自是一棵树，选取最下的边1 3连成的边权值为1，判断1 3不属于一棵树，满足条件

选定1 3连成的边，把1 3设置为一棵树，继续选定6  4组成的边权值2同理，同理2 5 直到满足n-1条边。

    上面的伪代码，最关键的地方在于“连通分量的查询和合并”，需要知道任意两个点是否在同一连通分量中，还需要合并两个连通分量。这个问题正好可以用并查集完美的解决。

并查集（Union-Find set）：

     初始状态每个点都是一个树，n个点是n颗树组成的森林，每次操作需要搜索一条边的两个点是否属于一棵树，不是就需要合并，是的话就舍弃，不然会出现环，并查集就是充当着查与并的功能，状态压缩就是树只有一个根，根有儿子结点，没有孙子结点，这样在查的时候就非常的快。

附上并查集代码：

int parent[1002];  
  
void init(int n)//初始化  
{  
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        parent[i]=i; 
    } 
}  
int find(int x)//寻找根节点  
{  
    return parent[x]==x?x:find(parent[x]);//状态压缩，只有结点和儿子结点这两层关系 
}  
  
void unite(int x,int y)//连接，分集合  
{  
    x=find(x);  
    y=find(y);  
    if(x==y) { 
        return ;  
    }
    else {  
        parent[x]=y;  
    }
}  

附上克鲁斯卡尔算法代码：

//Kruskal
int pRoot[1000], pResult, N, M;	

struct Node{
    int pStart, pEnd, val;
}edge[5000];

bool cmp(Node tmp_a, Node tmp_b) 
{
    return tmp_a.val < tmp_b.val;
}

void init()
{
    scanf("%d%d", &N, &M);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
	pRoot[i] = i;
    }
    for (int i = 0; i < M; i++) {
	scanf("%d%d%d", &edge[i].pStart, &edge[i].pEnd, &edge[i].val);
    }
    sort(edge,edge+M,cmp);
}

int Find(int x) 
{
    return pRoot[x] == x?x:Find(pRoot[x]);
}

void Kruskal()
{
    int tmp_M = 0;
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        if(tmp_M == N - 1) {
	    break;
	}
	int find_a = Find(edge[i].pStart);
	int find_b = Find(edge[i].pEnd);
	if (find_a != find_b) {
	    pRoot[find_a] = find_b;
	    tmp_M++;
	    pResult += edge[i].val;
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    Kruskal();
    printf("%d\n", pResult);
}

以上题目，N个点，M条边求最小生成树

用上诉图数据进行测试

输入：

1 2 6

1 3 1

1 4 5

2 3 5

2 5 3

3 4 5

3 5 6

3 6 4

4 6 2

5 6 6

输出：15