位运算基础与应用

本文档主要是对算法刷题中使用到的位运算知识的整理。

1、位运算基础

在二进制的世界中，数字只有“0”和“1”，由“0”和“1”形成的指令也就是计算机可以直接执行的指令。在大学中学到的数电、模电中的与、或、非、异或等操作就是今天将要讲的二进制的基本位运算。

运算符号	描述	运算规则
&	与	全1为1，有0则0
|	或	有1为1，全0则0
~	非	“0”变成“1”，“1”变成“0”
^	异或	相同为0，相异为1
<<	左移	各二进制位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0
>>	右移	各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补0（逻辑右移）

1.1 与运算

与运算的表示符号是“&”，两个二进制数之间进行与运算（与操作）是指对应位之间进行与运算，比如“0010&1011=0010”，对应位之间的与操作分别为 “0&1=0”、“0&0=0”、“1&1=1”、“0&1=0”。

还记得在数电这门课程中关于二进制的与运算是这样讲的，二进制数的“0”和“1”就像是电路中开关的“开”与“闭”，与操作就像是一个电路中有两个串联的开关，只有开关都“闭合”即表示开关“闭合”的两个二进制数都为“1”时，电路才会导通，其余任何情况电路都不会导通。

因此，与运算有这样的计算规则：“全1为1，有0则0”。

1.2 或运算

或运算的表示符号是“|”，或操作就像是一个由两个开关并联组成的电路，只要有一个开关“闭合”，这个电路就会导通。因此，或运算有这样的计算规则：“有1为1，全0则0”。

0或上任意一个数仍是这个数本身。

1.3 非运算

非运算的表示符号是“~”，非操作非常简单，主要把“0”变成“1”，“1”变成“0”即可。若a表示一个一位二进制数（要么是0，要是1），则a的非运算结果为“1-a”，并且有 "a & (1-a) = 0"、"a | (1-a) = 1"。

1.4 异或运算

异或运算的表示符号为 "^"，计算规则是“相同为0，相异为1”。

两个相同的数异或值为0。

1.5 移位运算

左移i位相当于乘以2的i次幂，右移i位相当于除以2的i次幂。

2、位运算应用

2.1 状态压缩

如果遇到字符串的题目，字符串中没有重复的字符，并且都是大写或者都是小写字母，就可以优先考虑状态压缩，然后采用位运算进行后续求解。

怎么将字母表示为二进制状态？

1、切入点：字符串的长度不超过26，任一字符串中，每个字母至多出现一次；

2、每个字符对应到二进制压缩的位上， 'a' 对应到 0 位， 'b' 对应到 1 位，以此类推 'z' 对应 25 位；

3、所有的字符串都可以用二进制数来唯一表示，比如’abd‘可以用二进制数 1011 唯一表示；

具体有如下的实现代码：

int mask = 0; 
for (int i = 0; i < str.size(); ++i) { 
    mask |= 1 << (str[i] - 'a'); 
}

2.2 集合表示

参考内容

集合可以使用二进制来进行表示：二进制从低到高的第i位为1表示i在集合中，为0表示i不在集合中。比如集合 {0，2，3}可以用二进制 “1101”，相应的二进制 “1101” 就可以表示集合{0，2，3}。正式的公式如下所示，其中S表示每个集合。

对于{0, 2, 3}这样的一个集合，有，其对应的二进制数为“1101”。

借助于二进制的位运算和集合表示法可以将集合与集合之间的关系，集合与元素之间的关系进行如下总结。

2.2.1 集合与集合之间的关系

术语	集合表示	位运算表示	集合表示举例	位运算表示举例
交集	A ∩ B	a & b	{1,2,3} ∩ {0,1,3} ={1,3}	1101 & 1011 = 1001
并集	A ∪ B	a | b	{1,2,3} ∪ {0,1,3} ={0,1,2,3}	1101 | 1011 = 1111
对称差	A Δ B	a ⊕ b	{1,2,3} Δ {0,2} ={0,1,3}	1110 ^ 0101 = 1011
差	A - B	a & ~ b	{1,2,3} - {0,2} = {1,3}	1110 & 1010 = 1010
差（一个是另一个集合的子集时）	A - B（B ⊆ A）	a ⊕ b 或a & ~ b	{1,2,3} Δ {3} = {1,2} {1,2,3} - {3} = {1,2}	1110 ^ 1000 = 0110 1110 & 0111 = 0110
包含于	A ⊆ B	a & b=a a | b=b	{0,2} ⊆ {0,2,3}	0101 & 1101 = 0101 0101 | 1101 = 1101

注：

数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合，去掉两个集合的交集，集合各自剩下的元素组成的新集合即为答案。

注意区分差和对称差，比如A-B表示在集合A中但是不在集合B中的元素组成的集合。

如果B⊆A即B是A的子集，则A-B等价于AΔB，即位运算a&~b等价于a⊕b。

2.2.2 元素与集合之间的关系

术语	集合表示	位运算表示	集合表示举例	位运算表示举例
空集	∅	0
单元素集合	{i}	1 << i	{3}	1 << 3
全集	U={0,1,2,3,...,n-1}	(1 << n) - 1	{0,1,2,3}	(1 << 4) - 1
补集	CuS=U-S	~s或者 ((1 << n) - 1) ⊕ s	U={0,1,2,3} S={2} 补集为{0,1,3}	~s=1011, ((1 << 4) - 1) ⊕ 0100 = 1011
属于	i ∈ S	(s >> i) & 1 == 1	1 ∈ {1,3}	(1010 >> 1) & 1 == 1
不属于	i ∉ S	(s >> i) & 1 == 0 或 != 1	0 ∉ {1,3}	(1010 >> 0) & 1 == 0
添加元素	S ∪ {i}	s | (1 << i)	{2,3} ∪ {1}	1100 | (1 << 1) = 1110
删除元素	S - {i}	s & ~ (1 << i)	{0,2,3} - {2}	1101 & ~(1 << 2) = 1001
删除元素 （一定在集合中）	S - {i}（i ∈ S）	s ⊕ (1 << i)	{0,2,3} - {2}	1101 ^ 0100 = 1001
删除集合中的最小元素		s & (s - 1)	删除集合{1,2,3}中的最小元素	1110 & (1110 - 1) =1110 & 1101 = 1100

注：

补集，一般指绝对补集，指全集中不属于某一子集的所有元素组成的集合。

对于删除元素可以有两种方法，如果确定某一元素就在集合中，可以使用位运算进行删除；如果不确定某一元素是否在集合中，则使用 &~ 的方法。

还有一些问题可以借助相应程序语言提供的库函数来解决：

术语	C++	Python
求集合的大小 （即求集合中元素的个数）	__builtin_popcount(s)	s.bit_count()
二进制长度 （即求集合中1的最高位）	32-__builtin_clz(s)	s.bit_length()
集合中的最小元素 （即求集合中1的最低位）	__builtin_ctz(s)	(s & -s).bit_length() - 1

注：

二进制的长度指的是二进制数中最高位的1位于二进制数从低位往高位数的第几位+1（因为二进制数位是从0位开始数的），__builtin_clz() 计算的是32位二进制数从高位往低位数的连续0的个数。二进制的长度普通计算方法是这样的：

int getLength(uint32_t n) {
    int res = 0;
    while (n) {
        ++res;
        n >>= 1;
    }
    
    return res;
}

集合 {0,2,3} 用二进制数表示为 “1101”，该集合中的最小元素是 0，__builtin_ctz() 表示的是32位二进制数中从低位往高位数连续0的个数。

只包含最小元素的子集可以用 s & -s 来表示，-s在计算机中是用s的补码来表示的，即反码+1 (～s + 1)。

例如一个集合用二进制数表示为 s = 1010，-s = ～s + 1 = 0101 + 1 = 0110, s & -s = 0010, 于是集合中最小元素表示的二进制数为0010。

因为集合可以用二进制数来表示了，所以求集合中的元素个数可以通过计算对应的二进制数中“1”的个数来完成。这样也就可以通过一些简单的方法得到：

int hammingWeight(uint32_t n){
        int ans = 0;
    while(n){
        if(n & 1){
            ++ans;
        }
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int hammingWeight(uint32_t n){
        int ans = 0;
    while(n){
        n &= (n - 1);
        ++ans;
    }
    return ans;
}

代码中提到的汉明重量表示的是字符串相对于同样长度的0字符串的汉明距离（两个相同长度的字符串，对应位置字符不同的数目），因此汉明重量就是统计字符串中非0字符的个数，对于二进制串来说就是统计1的个数，如1011的汉明重量就是3。

2.2.3 遍历集合

设元素范围从 0 到 n-1，枚举判断每个元素是否在集合 s 中：

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if ((s >> i) & 1) {    // 如果元素 i 是否在集合 s 中
        // 代码块
    }
}

2.2.4 枚举集合

设集合内元素范围为 0 到 n-1，枚举该集合的所有子集（包括空集和全集）为：

for (int s = 0; s < (1 << n); ++s) {
    // 每一个s表示的就是该集合的一个子集
}

设集合为s，从大到小枚举s的所有非空子集sub：

for (int sub = s; sub; sub = (sub - 1) & s) {
    // 枚举的每一个sub都是符合题意的非空子集sub
}

需要注意的是这里的集合S已经不是从 0 到 n-1 的 n 个元素的集合了。普通的二进制减法会把最低位的1变成0，同时1右侧的0变为1。这里压缩版的二进制减法是类似的，最低位的1依然变为0对应sub-1操作，而1右侧的0只保留s中的1对应的是 &s 操作。

例如某一个集合的二进制数表示为 101010，普通的二进制减法的下一位是 101001，而压缩版的二进制减法也就是我们需要的下一位是 101000，通过 101010 & (101010-1) 计算得到。