树的基本定义

树的基本术语

一个节点包括一下内容

1. 父节点的地址值
2. 值
3. 左节点的地址值
4. 右节点的地址值

如果没有父节点或者没有左右节点，那么这些节点对应的位置是 null
常见术语

1. 节点—树中的元素常称为节点

2. 边—根和它的子树根（如果存在）之间形成边的边可到达另一个结点，则称这两个结点间存在一条路径。

3. 双亲—若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的双亲

4. 孩子—子树的根是该结点的孩子

5. 兄弟—有相同双亲的结点互为兄弟

6. 后裔—一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔

7. 祖先—从根结点到某个结点路径上的所有结点都是该结点的祖先

8. 度—一个结点拥有的子树数量称为该结点的度。度为 0 的结点称为叶子结点，树中结点的最大的度称为树的度

9. 层次—一般将根节点的层次定义为 1, 其余节点的层次等于其双亲结点的层次加 1, 书中节点的最大层次称为该树的高度

10. 无序树, 有序树, 如果一棵树中各结点的子树的次序不重要，可以交换位置，这样的树称为无序树。如果将树中结点的各棵子树看成是从左到右有次序的，则称该树为有序树。从左到右，可分别称这些子树为第一子树、第二子树等。

11. 森林—森林是树的有限集合

左子树

• 对于任意一个节点 n，它的左子树是从根节点到 n 的路径上所有节点的集合，包括 n 自己。

右子树

• 对于任意一个节点 n，它的右子树是从根节点到 n 的路径上所有节点的集合，不包括 n 自己。

二叉查找树
左节点的值比父亲节点的值小
右节点的值比父亲节点的值大
我们经常使用这个二叉查找树来进行查找节点

二叉树的遍历方式

三种递归遍历

1. 我们定义了二叉树的四种遍历运算，即先序遍历、中序通历、后序遍历和层次遍历。其中先序遍历、中序遍历和后序遍历的设计思想与二叉树的递归定义密切相关

层次遍历

1. 层次遍历是利用二叉树中各结点所在的层次，按照从上到下、从左到右的顺序访问二叉树中的每一个结点。

先序, 中序, 后序遍历

1. 对于这三种遍历方法而言, 遍历的逻辑是没有什么区别的, 唯一的区别在于, 什么时候输出

2. 函数的递归调用, 就是函数的自身调用, 执行完之后会返回上一个被嵌套的函数, 去执行, 未执行的表达式

3. 假设 L、V 和 R 分别代表遍历左子树、访问根结点和遍历右子树这三个操作，那么就可以得到六种遍历次序，分别是 VLR、LVR、LRV、VRL、RVL 和 RLV。

4. 即先访问根结点的先序遍历 VLR、中间访问根结点的中序遍历 LVR 和最后访问根结点的后序遍历 LRV

三种遍历算法的总结

1. 先序遍历算法读取的时候输出是在第一个，也就是说每次执行函数都会有输出，其是先从根节点开始的，然后遍历左子树，和右子树，所以它的结果一般是，从根节点开始输出，然后不断输出根节点的左子树内容，然后是到最下面的左子树结点的时候，判断有没有左右子树，没有的话，判断上一个有没有右子树，有的话先输出右子树，然后在继续判断有没有左子树，，，，

2. 中序遍历算法输出在遍历左子树之后，到最下面一个左子树才开始输出，然后是判断其有没有右子树，没有的话，返回上一步，此时上一步的遍历左子树算法结束，然后输出结点，然后继续遍历右子树，如果是先序遍历的话，此时这个右子树会输出的，但是中序遍历却不会输出，而是继续判断这个右子树有没有左子树之后才会输出。这就是区别

3. 后序遍历，就是先到最下方的一个左子树，然后是返回上一个节点，此时先序和中序，都会输出上面的结点，但是后序不会，后序的话，是只有子树输出完了，才会输出双亲结点

前序遍历从跟节点开始左子节点，右子节点的顺序遍历
当前，左，右的遍历方式
中序遍历我们先遍历最左边的节点（即最左边的叶子节点），等这个节点遍历完之后我们就往上一层，如果有右节点，那么先观察它有没有左节点，如果有的话那么我们就遍历左节点
记住关键点，一切都是以左节点为先
后序遍历
左，右，当前节点
层次遍历
一层一层的遍历
java 中常见的二叉树类型其实和 C 语言是类似的，并不是通过其特有的 LinkHashSet 还是 LinkArraylist，亦或者是 LinkHashMap, 本质上还是通过类来进行构建的

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    
    public TreeNode(int val) {
        this.val = val;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

public class BinaryTree {
    private TreeNode root;

    public BinaryTree() {
        this.root = null;
    }

    // 添加节点到二叉树
    public void addNode(int val) {
        root = addNodeRecursive(root, val);
    }

    // 递归方式添加节点到二叉树
    private TreeNode addNodeRecursive(TreeNode current, int val) {
        if (current == null) {
            return new TreeNode(val);
        }

        if (val < current.val) {
            current.left = addNodeRecursive(current.left, val);
        } else if (val > current.val) {
            current.right = addNodeRecursive(current.right, val);
        }

        return current;
    }

    // 遍历二叉树（示例为中序遍历）
    public void traverse() {
        traverseInOrder(root);
    }
    
    // 中序遍历二叉树
    private void traverseInOrder(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            traverseInOrder(node.left);
            System.out.print(node.val + " ");
            traverseInOrder(node.right);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree tree = new BinaryTree();

        // 添加节点
        tree.addNode(50);
        tree.addNode(30);
        tree.addNode(20);
        tree.addNode(40);
        tree.addNode(70);
        tree.addNode(60);
        tree.addNode(80);

        // 遍历二叉树
        tree.traverse();
    }
}

平衡二叉树

平衡二叉树的特点
二叉树左右两个子树的高度差不超过 1
任意节点的左右两个子树都是一颗平衡二叉树

平衡二叉树旋转
旋转触发时机
当添加一个节点之后, 该树不再是一颗平衡二叉树
左旋
就是将根节点的右侧往左拉, 原先的右子节点变成新的父节点, 并把多余的左子节点出让, 给已经降级的根节点当右子节点
从添加的节点开始，不断的往父节点中找不平衡的点

平衡右旋
右旋
就是将根节点的左侧往右拉, 左子节点变成了新的父节点, 并把多余的右子节点出让, 给已经降级根节点当左子节点

左右
左右: 当根节点左子树的右子树有节点插入, 导致二叉树不平衡
如何旋转: 先在左子树对应的节点位置进行左旋, 在对整体进行右旋

我们并不能通过一次旋转来实现这个二叉树的变换

红黑树

简单路径其实综合来说就是，不能回头
我们通过第五条规则来设定这个红色节点的数量

添加节点的规则

默认添加的节点是红色的，这样的话效率高

叔叔节点就是父节点的兄弟节点
根据这个操作来说，是不难的

红黑树是一种增删改查数据性能相对都较好的结构