LA@方阵相似@相似矩阵的性质@正交相似对角化

方阵相似

引言

• 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵
  • 对角阵相关的乘法运算是很高效的
  • 相似方阵是和对角阵相关的概念

相似矩阵定义

• 设$\mathbf{A},\mathbf{B}$是$n$阶方阵,如果存在$n$阶可逆方阵$\mathbf{P}$,使得${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$,则称方阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似,记为$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$

相似变换

• 对$\mathbf{A}$进行运算${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$称为对$\mathbf{A}$进行相似变换

相似变换矩阵

• 矩阵$\mathbf{P}$称为相似变换${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$的相似变换矩阵

相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同

• 若$n$阶矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似,则$\mathbf{A},\mathbf{B}$的特征多项式相同,从而$\mathbf{A},\mathbf{B}$的特征值相同

• 证明:

  • 由$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$,有$\mathbf{P}$满足${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$
  • 所以$f_{\mathbf{B}}(\lambda )$=$|B-\lambda \mathbf{E}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}-\lambda \mathbf{E}|$
  • 由于$\mathbf{P}\lambda \mathbf{E}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{PE}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{P}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{E}$,因此,可以将$\lambda \mathbf{E}$变形为$\mathbf{P}(\lambda \mathbf{E}){\mathbf{P}}^{-1}$或${\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}$
  • $f_{\mathbf{B}}(\lambda )=|{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}-{\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}||A-\lambda \mathbf{E}||P|$=$|P{|}^{-1}|A-\lambda \mathbf{E}||P|$=$|A-\lambda \mathbf{E}|$
  • 显然$f_{\mathbf{A}}(\lambda )=f_{\mathbf{B}}(\lambda )$

• 但是,特征值相同的方阵未必相似

推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

• 与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素

• 若$n$阶矩阵$\mathbf{A}\sim \Lambda ({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$,则${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$是$A$的$n$个特征值

• 证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知,$\mathbf{A}$的特征值与$\Lambda$相同,所以推论成立

相似矩阵性质

• $\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$
• $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}\Rightarrow \mathbf{B}\sim \mathbf{A}$
  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B},\mathbf{A}=\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1}$
• $\mathbf{A}\sim \mathbf{B},\mathbf{B}\sim \mathbf{C}\Rightarrow \mathbf{A}\sim \mathbf{C}$
  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B},{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}=\mathbf{C}$
  • $\mathbf{QC}{\mathbf{Q}}^{-1}=\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$
  • $\mathbf{PQC}{\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}=\mathbf{A}$
  • $(\mathbf{PQ}{)}^{-1}={\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}$
  • 因此$\mathbf{C}\sim \mathbf{A}$
• 单位矩阵只和自身相似
  • 设方阵$\mathbf{A}$和单位阵$\mathbf{E}$相似
  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{E}$
  • $\mathbf{A}=\mathbf{PE}{\mathbf{P}}^{-1}=\mathbf{E}$
  • 因此和单位阵$\mathbf{E}$相似的矩阵是$\mathbf{E}$本身

导出性质

• 设$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似$(\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP})$,则有以下性质

• $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|$

  • $|\mathbf{A}|=|{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}|=|{\mathbf{P}}^{-1}||\mathbf{B}||\mathbf{P}|=|\mathbf{P}{|}^{-1}|\mathbf{P}||\mathbf{B}|=|B|$
  • 或者,因为相似方阵有相同的特征值,且特征值之积等于方阵的行列式,所以相似方阵的行列式相同

• $tr(\mathbf{A})=tr(\mathbf{B})$

  • $\mathbf{A},\mathbf{B}$具有相同的特征值
  • $tr(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $tr(\mathbf{B})=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $\therefore tr(\mathbf{A})=tr(\mathbf{B})$

• $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$

  • $\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}$
    • $\mathbf{P},{\mathbf{P}}^{-1}$都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
    • 因此,$\mathbf{A}$相当于有$\mathbf{B}$经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

• ${\mathbf{A}}^T\sim {\mathbf{B}}^T$

  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$
  • $({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}{)}^{\mathbf{T}}={\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}$
    • ${\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{P}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}={\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}$
    • ${\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}$
  • 可见${\mathbf{A}}^T\sim {\mathbf{B}}^T$

• ${\mathbf{A}}^m\sim {\mathbf{B}}^m$

  • ${\mathbf{B}}^m$=$({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}{)}^m$

    • =$({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP})({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP})\cdots ({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP})$
    • $={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}({\mathbf{PP}}^{-1})\mathbf{A}(\mathbf{P}{\mathbf{P}}^{-1})\cdots (\mathbf{P}{\mathbf{P}}^{-1})\mathbf{AP}$
    • $={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^m\mathbf{P}$

• 设$\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}$<1>,若${\mathbf{A}}^{-1}$存在,则${\mathbf{B}}^{-1}$存在,且${\mathbf{A}}^{-1}\sim {\mathbf{B}}^{-1}$,${\mathbf{A}}^{\ast }\sim {\mathbf{B}}^{\ast }$

  1. $\mathbf{B}$可逆:
  • 方法1:
    • $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}\Rightarrow |\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|=k$
    • ${\mathbf{A}}^{-1}$存在,$|\mathbf{A}|\ne 0$,则$|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\ne 0$
  • 方法2:
    • 由于$\mathbf{A}$可逆,则${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$表明,$\mathbf{B}$是可逆矩阵经过一系列初等变换得到的,所以$\mathbf{B}$也可逆
  2. 对<1>两边取逆:${\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{P}{\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}$<1.1>,因此${\mathbf{A}}^{-1}\sim {\mathbf{B}}^{-1}$
  3. 因为$|A|=|B|=k$,$k\ne 0$
  • ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=k^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }$
  • ${\mathbf{B}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{B}|}{\mathbf{B}}^{\ast }=k^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }$
  • 将<2>,<3>代入<1.1>,得$k^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{P}(k^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }){\mathbf{P}}^{-1}$
  • ${\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }\mathbf{P}$,即${\mathbf{A}}^{\ast }\sim {\mathbf{B}}^{\ast }$

相似矩阵的乘方性质

设$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似,即$\mathbf{A}=\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1}$<0>,则:${\mathbf{A}}^k$=$\mathbf{P}{\mathbf{B}}^k{\mathbf{P}}^{-1}$<1>

• 证:对<0>两边同时取$k$次幂运算:${\mathbf{A}}^k$=$(\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})(\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})\cdots (\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})$
  • =$\mathbf{PB}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}\cdots \mathbf{B}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}{\mathbf{P}}^{-1}$
  • =$\mathbf{P}{\mathbf{B}}^k{\mathbf{P}}^{-1}$

相似矩阵和矩阵多项式

• 设矩阵多项式$f(\mathbf{A})=\sum _{i=0}^m{a}_i{\mathbf{A}}^i$<2>,将<1>代入<2>有:$f(\mathbf{A})$=$\sum _{i=0}^m{a}_i{\mathbf{A}}^i$=$\sum _{i=0}^m{a}_i(\mathbf{P}{\mathbf{B}}^i{\mathbf{P}}^{-1}))$=$\sum _{i=0}^m\mathbf{P}(a_i{\mathbf{B}}^i){\mathbf{P}}^{-1}$,根据矩阵乘法的分配律,$f(\mathbf{A})$=$\mathbf{P}({\sum }_{i=0}^m{a}_i{\mathbf{B}}^i){\mathbf{P}}^{-1}$=$\mathbf{P}f(\mathbf{B}){\mathbf{P}}^{-1}$

相似对角阵

• 当$\mathbf{A}$相似于某个对角阵$\mathbf{\Lambda }$,则:

  • ${\mathbf{A}}^k$=$\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^k{\mathbf{P}}^{-1}$
  • $f(\mathbf{A})$=$\mathbf{P}f(\mathbf{\Lambda }){\mathbf{P}}^{-1}$

• 由此可见,若矩阵$\mathbf{A}$能够表示成$\mathbf{A}=\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{-1}$(相似对角化问题),矩阵$\mathbf{A}$的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式

对角阵多项式的展开

• $f(\mathbf{\Lambda })={\sum }_{i=0}^m{a}_i{\mathbf{\Lambda }}^i$=$\text{diag}(f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n))$,

• 推导:

  • 对角阵乘方运算性质:若$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$为对角阵,则${\mathbf{\Lambda }}^k$=$\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$

  • f ( Λ ) = a 0 ( 1 1 ⋱ 1 ) + a 1 ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) + ⋯ + a n ( λ 1 n λ 2 n ⋱ λ n n ) = ( ∑ i = 0 m a i λ 1 i ∑ i = 0 m a i λ 2 i ⋱ ∑ i = 0 m a i λ n i ) = ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) ⋱ f ( λ n ) ) \begin{aligned} f(\Lambda) =&\small{a_0\begin{pmatrix} {{1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{ 1}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{1}} \cr \end{pmatrix} +a_1\begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} +\cdots +a_n\begin{pmatrix} {{\lambda _1^n}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2^n}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n^n}} \cr \end{pmatrix}} \\ =&\begin{pmatrix} \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_1^{i} & {} & {} & {} \cr {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_2^{i} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_n^{i} \cr \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {f({\lambda _1}}) & {} & {} & {} \cr {} & f({{\lambda _2}}) & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & f({{\lambda _n}}) \cr \end{pmatrix} \end{aligned} f(Λ)==​a0​ ​1​1​⋱​1​ ​+a1​ ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​+⋯+an​ ​λ1n​​λ2n​​⋱​λnn​​ ​ ​∑i=0m​ai​λ1i​​∑i=0m​ai​λ2i​​⋱​∑i=0m​ai​λni​​ ​= ​f(λ1​)​f(λ2​)​⋱​f(λn​)​ ​​

  • 这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算

小结

• 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点
• 特别是,当$\mathbf{A}$有一个与之相似的对角阵时,许多关于$\mathbf{A}$的计算就可以被简化,例如矩阵多项式的计算,这个问题归结为方阵相似对角化

强矩阵相似

对角化相似

• 若方阵${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$,$\mathbf{\Lambda }$是对角阵,则称$\mathbf{A}$对角化相似于$\mathbf{B}$
• 这是一种重要的相似关系,"对角化"指的是原矩阵$\mathbf{A}$被相似对角化为一个对角阵,这使得许多计算变得简单,特别是矩阵多项式的相关计算种

正交相似

• 若方阵${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{B}$,${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}$,则称$\mathbf{A}$正交相似于$\mathbf{B}$
• 这里的正交相似的正交体现在相似变换阵是一个正交阵上,而不是说将原矩阵$\mathbf{A}$转换为一个正交阵

正交相似对角化

• 正交相似对角化:若方阵${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$,${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}$,则$\mathbf{A}$正交相似于对角阵$\mathbf{\Lambda }$,称$\mathbf{A}$正交相似对角化
• 在对称阵的对角化相关定理中,利用本概念,可以描述定理:对称阵一定可以正交相似对角化

实对称方阵A正交对角化方法

• 求出实对称阵A的全部特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$(对称阵一定可以正交对角化)
  • 如果特征值${\lambda }_i$是单根,则从$f({\lambda }_i)=0,即({\lambda }_{i}E-A)x=0$对应的求出一个特征向量${\alpha }_i$
  • 如果特征值${\lambda }_i$是$n_i$重根,${\sum }_{i=1}^m{n}_i=n$
    • 则从$f({\lambda }_i)=0$求出$n_i$个线性无关特征向量$A_i={\alpha }_{i_1},\cdots ,{\alpha }_{n_i}$,$i=1,\cdots ,m$
    • 对$A_i$执行Schmidt正交化得到$B_i$,$i=1,\cdots ,m$
    • 对$B_i$在执行Normalization单位化得到$C_i$,$i=1,\cdots ,m$
  • 将得到的所有标准正交特征向量组$C_i$中的向量依此排列起来得到正交矩阵$\mathbf{C}$=$({\mathbf{c}}_{11},\cdots ,{\mathbf{c}}_{1n_1},\cdots ,{\mathbf{c}}_{m1},\cdots ,{\mathbf{c}}_{m,n_m})$,$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$