数学广角-圆的面积

  上次通过讨论，我和两个同学得出了圆的周长的探索规律，就是兀×直径（或者×半径的两倍），那么新的问题又来了：求出圆的周长，我们能不能再求出圆的面积呢？

  圆的面积跟其他图形的面积都不一样，因为圆没有固定的边，他的边是曲线的，不能通过固定的边长来求出面积。但是我们可以通过正方形，长方形等等的图形去探索圆的面积吗？

  首先我们来看：圆虽然是一个“曲边”的图形，但是我们依然可以从原里面找到拥有“固定边”的图形(剩下的半圆部分没有测出来，就是人工误差了），如下图：

从圆里面找出一个正方形

  大家可以看到，我从圆里面找出了一个最大的正方形（大约）求出了这个正方形的面积，就可以大约知道这个圆形的面积。而剩下的半圆形部分就是人工误差，四个这样的半圆形加起来，误差其实也不小，可以说，这连大概都不算。既然要出圆的面积，我们就需要在我们力所能及的范围之内，求出圆的面积最接近的一个面积。但是其实我们可以减少误差，如果我们再分一个多边形呢?比如六边形?

从圆里面找出一个六边形

  六边形的边比四边形多，它的面积比四边形大。也就是说，六边形在圆里面占据的最大面积比四边形要多，与圆的面积更接近一些，也就是说误差就会减少。那么如果我们再去尝试更多边形的面积?

  如图所示，我从圆里面找出了一个有很多边的一个图形。它在圆里面占据的面积很大，误差就会变得很小。这样求出来就跟圆的面积很相近了。我们都知道求一个多边形的面积，需要知道它的一条底和高。而它的高刚好就是圆的半径：

多边形的高在圆里面就等于圆的半径

  由此我们可以推出，是兀×半径的平方，等于圆的面积（半径的平方是因为两个半径x兀x半径的二分之一，÷2和×2互相抵消就是半径x半径再x兀）。

  之外还有另一个方法，把圆形分割成一些“三角形”，大约是这样子的：

      这些三角形拼接起来，可以组成一个长方形。这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆的周长的二分之一。最后求出来的公式是这样的：（半径+周长x二分之一）×2也可以算出圆的面积，这也就是求圆的面积的两种方法。