矩阵的迹、秩等问题的理解

0. 矩阵的几何意义

矩阵来自于方程组系数所构成的方阵，完成的是一个向量空间到另一个向量空间的映射。
矩阵的行列式的几何意义是矩阵在n维空间中表示的某一图形的体积（对于2维空间来说是面积）。
矩阵行列式的几何意义具体可参考向量混合积的几何意义

1. 矩阵的秩

矩阵的秩是非零行的数目，几何意义是经矩阵A变换后图形的纬度。以2维图形为例，若r(A) = 2,则变换后还是一个2维图形，若r(A) = 1, 则变换后成为一个线段，若r(A) = 0, 则变换后成为一个点。

满秩矩阵又称为非奇异矩阵、非退化矩阵，其行列式不为0。

2. 矩阵的迹

矩阵的迹是迹是所有对角元素的和，也是所有特征值的和。
其几何意义是体积的变化率。

3. 病态矩阵

病态矩阵是条件数很大的非奇异矩阵。
病态矩阵的逆和以其为系数矩阵的方程组的界对微小扰动十分敏感，对数值求解会带来很大困难。

4. 奇异矩阵/矩阵奇异

奇异矩阵即非满秩的矩阵，其行列式为0， 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

5. 退化矩阵/矩阵退化

退化矩阵即非满秩的矩阵，其行列式为0， 如果A为退化矩阵，则经其变换后的线性空间存在维度丢失，即退化。

如果矩阵行不满秩，经过初等行变换后，矩阵会出现0行，此时把矩阵列分块，可以发现列向量的维度退化了，所以叫退化矩阵。

如果列不满秩同理，初等列变换后出现0列，按照行分块，则行向量的维度退化了。

从空间的角度来讲，n个n维度且线性无关的向量，可以构成一个n维空间的基，简单地讲就是坐标轴，(1,0)和(0,1)两个向量构成二维空间的基，(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)构成三维空间的基（相互垂直且长度为1的基称为标准正交基），以此类推。这n个线性无关的n维向量拼成矩阵，就是满秩矩阵，也就是非退化矩阵。如果这个矩阵不满秩，则其中必有一个向量可以被其他向量表示，也就是空间中某一个坐标轴可以被其他坐标轴表示，这个空间的维度就退化了。比如你写了三个向量(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)，说这三个向量可以构成一个三维空间，但是你发现第三个向量是12两个向量相加得来的，这三个向量是共面的，那么这三个向量相互组合实际上只能组成一个二维平面。

例如，二维空间中的圆，经秩为1的二维方阵变换后会退化成线段。