奇偶校验码和海明码

当计算机在传送比特数据时，如果有一个比特位出错了该怎么发现？
这里有一个前提，计算机在传输一段适当长度的比特数据时，有一个比特位出错的概率很低，同时有两个比特位出错的概率极低，所以实践中我们只需考虑一个比特位出错时的情况。
解决的办法之一是每一个比特位都接连传送两次，比如要想传送１，实际就传送１１，这样如果前后两个比特位值一样，就可认为比特位没出错。这种方法类似于在用户注册时，输入一遍密码后，还要再输入一遍确认密码，两遍密码输入一样即认为用户没有输错。
但是这个方法会带来一个问题，就是使传输数据量翻倍。
一个解决办法就是使用奇偶校验码，通过增加一个校验比特位的方式，将一段二进制数据中的１凑成偶数（偶校验），或是凑成奇数（奇校验），前面举的只传输一个比特位的例子实际上即为偶校验的一个特例。
但是这个方法又会带来一个问题，虽然附加的校验位少了，但是一旦错了就要重传一整段数据，开销还是比较大。
解决的思路是能否在发现错的同时，还知道错哪了？这样在本地即可进行修正，不需要再重新传。
一是考虑有两个二进制编码，如果一个编码只需要变动一个比特位即可变为另一个编码，那么在传送这两个编码时，即使传错了也没法发现，接收方会以为要传的就是传错的那个。如果一个编码需要变动两个比特位才能变成另一个编码，那么在传送一个编码时，如果传错了是可以发现的，因为错了一个比特位，就哪个编码都不是了，但这时只是知道传错了，并不知道想传的是哪个，因为任何一个编码错一个比特位都可以是现在收到的这个错误码。接下来继续把距离拉大，如果一个编码需要变动三个比特位才能变成另一个编码，这时如果在传送时错了一个比特位，就不仅可以知道传错了，还可以知道是传哪个码时出的错，只为只有一个码在错一个比特位时才能变成现在这个错误的码。
上面提到的这个距离，就叫做码距。所以要想实现即知道错了，又知道哪错了，码距至少为３.
一个叫海明的人研究了几年，根据这个思路，发明了海明码。
海明码利用奇偶校验码来发现错误，利用校验码的排列组合，来标记出错的位置。
举一个简单的例子，如果一个二进制码有７位，则共有７种出错的可能和１种不错的可能，共８种可能。这８种可能通过３个校验码的排列组合即可实现。所以７位海明码中有３个校验位，４个数据位。