最大公约数与最小公倍数（c语言,详细）

一、最小公倍数（LCM）

最小公倍数=输入的两个数之积除于它们的最大公约数（a*b/最大公约数），关键是求出最大公约数；

二、最大公约数（GCD）

1.辗转相除法/欧几里得算法

定义：先用较大的数除以较小的数，算出余数。然后用除数继续除以余数，求出新的余数。接着再用除数除以余数…不停循环…直至余数为0，最终b就是最大公约数。示例（a=1997，b=615）：

a	b	a mod b
1997	615	152	1997/615=3…152
615	152	7	615/152=4…7
152	7	5	152/7=21…5
7	5	2	7/5=1…2
5	2	1	5/2=2…1
2	1	0	2/1=2…0

1.1常规

#include
int main(){
	int a,b;
	printf("请输入a,b的值：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	if(a<b){  //交换a，b 的大小 
		int temp = b;
		b = a;
		a = temp;
	}
	int r;  //r代表余数
	r = a%b;
	int n;
	n = a*b; //最小公倍数为a*b/GCD 
	while(r!=0){
		a = b;
		b = r;
		r = a%b;
	}
	printf("最大公约数是%d,最小公倍数为%d",b,n/b);
	return 0;
}

1.2递归

#include
//递归实现最大公约数 
int gcd(int a,int b){
	if(a%b == 0)
		return b;
	else
		return gcd(b,a%b);
}
int main(){
	int a,b;
	printf("请输入a,b的值：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	if(a<b){  //交换a，b 的大小 
		int temp = b;
		b = a;
		a = temp;
	}
	int n;
	n = a*b; //最小公倍数为a*b/GCD 
	printf("最大公约数是%d,最小公倍数为%d",gcd(a,b),n/gcd(a,b));
	return 0;
}

2.更相减损术

更相减损法出自《九章算术》：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
具体方法：
第一步：任意给定两个正整数；若都是2偶数，则用2约简；否则，执行第二步。
第二步：两个数之间大的数字减小的数字，之后将得到的差与较小的数比较，并以大数减小数，一直循环，直到减数与所得的差相同，此时的差即为两个数之间的最大公约数。
第三步：得出来的差和约去的2的乘机就是最大公约数
示例（a=12,b=6）
第一步：约简为6，3（约减1次）；
第二步：

a	b	a-b
6	3	6-3=3

第三步：3*2=6（gcd）；

2.1常规

#include
int main(){
	int a,b;
	int x;       //两数之差
	printf("请输入a,b的值：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	int n = a*b; //两数之积
	int i=0;     //记录约去2的个数
	while(a%2==0 && b%2==0){
		a/=2;
		b/=2;
		i++;
	}
	if(a<b){
		int temp=b;
		b = a;
		a = temp;
	}
	x = a-b;
	while(x!=b){
		a = x>b?x:b;
		b = x<b?x:b;
		x = a-b;
	}
	if(i==0) 
		printf("最大公约数为%d,最小公倍数为%d",x,n/x);
	else{
		for(int j=0; j<i; j++){
			x = x*2;
		}
		printf("最大公约数为%d,最小公倍数为%d",x,n/x);
	}
	return 0;
}

2.2递归

#include
//递归 
int gcd(int a,int b){
	if(b == a-b) 
		return b;
	else
		return gcd(a-b>b?a-b:b,a-b<b?a-b:b);
} 
int main(){
	int a,b;
	printf("请输入a,b的值：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	int n = a*b; //两数之积
	int i=0;     //记录约去2的个数
	while(a%2==0 && b%2==0){
		a/=2;
		b/=2;
		i++;
	}
	if(a<b){
		int temp=b;
		b = a;
		a = temp;
	}
	if(i==0) 
		printf("最大公约数为%d,最小公倍数为%d",gcd(a,b),n/gcd(a,b));
	else{
		int x = gcd(a,b);
		for(int j=0; j<i; j++){
			x = x*2;
		}
		printf("最大公约数为%d,最小公倍数为%d",x,n/x);
	}
	return 0;
}

3.穷举法/暴力法

【最大公约数】：对于两个不同的正整数a，b，在[1,min{a,b}]中存在能同时被a和b所整除的数字，其中最大的数字就是最大公约数。
【最小公倍数】：对于两个不同的正整数a，b，从max{a,b}开始，找到的第一个能够整除a和b的数字，即为最小公倍数。

#include
//穷举实现最大公因数 
int gcd(int a,int b){
	int temp;
	int max=1; //公因数中最大的 
	if(a<b){
		temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	for(int i=1; i<=b; i++){
		if(a%i==0 && b%i==0)
			max = i;
	}
	return max;
}

//穷尽实现最小公倍数
int lcm(int a,int b){
	int max;  //a和b之中较大的数
	max = a>b?a:b;
	int i;
	for(i=max; ; i++){
		if(i%a==0 && i%b==0)
			break;
	}
	return i; 
} 

int main(){
	int a,b;
	printf("请输入a,b的值：");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	printf("最大公约数为%d,最小公倍数为%d",gcd(a,b),lcm(a,b));
}