近世代数——群

群，起源于人们对方程解析解的探索。在发展了几百年的今天，群论不仅在数学领域大放异彩，也成为物理量子力学的基础、几何化学的重要工具、计算机算法的本质载体。对群论的研究，会让人在高等代数的基础上拓展视野，拥有更为深刻的世界观。从本节开始，我们将逐步研究群及其演化而得的环等数学对象，一起来认识一个有趣的代数世界吧！

依据北航离散2代数系统部分知识整理而成

一、半群

在认识群之前，首先借用半群的概念来过渡，请允许我卖一个小小的关子，因为这样逐步搭建的理论体系，有助于更好的理解群的各项性质。

什么是半群

想必大家对于“代数系统”这个词相当熟悉，能够成为系统必定是一个相对独立的整体，因此代数系统指的是 集合+运算 ，其中，运算表示的是一个定义在该集合上的代数运算（封闭），一般的代数系统可以包含多个代数运算。代数系统也简称为代数。

所谓半群，其本质是一个代数系统，不同的是，它是一个建立在单个代数运算上的概念。

半群与交换半群

对代数系统，若对任意有：，则称为半群；若还满足，则称为交换半群。

一句话概括即为：满足结合律的代数系统为半群，特别的，如果还满足交换律，则称为交换半群，这类例子随处可见就不举辽。

幺半群（独异点）

若存在单位元，对任意的有，则称为独异点或幺半群。

其实就是再说是否存在单位元的问题，线性映射中，单位映射就是满足条件的单位元。

半群的性质

性质1：有限半群一定存在幂等元

若是一个半群，如果S有限，则必存在使得.

存在问题可以用反证法，假设没有幂等元，很容易推出对任意的n，中没有任何一个数是相等的，做一个的映射，因为正整数集无限，因此S无限，这样就证明了。

性质2：为独异点或幺半群，则关于运算的运算表中，任何两行或两列都不相同。

证明：全称命题同样可以借助反证法，即假设存在两行或两列相同，会出现什么？假设是是这个幺半群的定义域（互不相等），即存在两个元素对应的运算结果一样，设为，那肯定这俩元素都要跟单位元运算，有：

但事实上根据集合互异性，这二者不可能相等，这就是矛盾所在。

一个典型的例子就是克莱恩四元群，其运算表如下：

克莱恩四元群

半群之间有什么关系

半群同态

是两个半群，若存在一个映射，对任意的，都有，则称是半群同构。特别的，是满射，则称为半群满同态；如果是一一映射，则称为半群同构；如果S和T是同一个集合，则称为自同态（自同构）。

同态和同构的区别就是映射是否是双射。同态是松散的映射，最典型的是向零的映射，即陪集（包含函数值域的集合）中只有0，那不管怎么样映射都封闭，所以尽管同态有是一个较好的性质，但有时候也然并卵。

半群导出定理

设是一个半群，是一个代数系统，如果存在一个同态满射，则后者也是半群。

证明：只需要满足结合律即可，所谓满射了，即任何一个T中的元素都能对应到S中的一个元素，然后借助转换一下运算即可证明。该定理其实在阐述同态的本质：结构相似，这也是为什么同台关系可以用表征，而同构可以用表示。

有了半群关系，也自然可以稍微拓展一下半群的性质

性质3：与幺半群满同态的代数系统也是幺半群，且单位元映射到单位元。

证明：其实只需证明单位元之间的映射即可，而借助单位元性质也很好证明，此处略去。

从本条性质发现，同态在描述抽象性质上有很大作用。

性质4：同态关系满足自反性和传递性，且保持交换律和分配律

特殊的半群

商半群

对半群，若R是S上的等价关系，则称为的商半群，运算为。

即半群的商半群为这样的半群：其定义域为S的剩余类，运算为剩余类加法。

性质：半群与它的商半群满同态

其实建立一个映射：即可证明

半群直积

设是两个半群，其上的代数系统直积，其中是笛卡尔积，而定义为：称为半群直积

性质

• 半群直积也是半群（其实只是将两个半群形式上结合而已，类似矩阵并行计算）
• 交换半群的直积也是交换半群
• 幺半群同理，且其独异点（单位元）是两个半群单位元的直积
• 有零元的半群直积的零元是两个半群零元的笛卡尔积
• 有逆元的半群直积的逆元是两个半群逆元的笛卡尔积

二、群

什么是群

设G是一个非空集合，是二元代数运算，如果满足以下条件：

• 代数运算满足结合律
• G中有左单位元e
• 对G中每个元素a，都有左逆元使得

则称G对代数运算成为一个群

有逆元的独异点即是群

群独异点半群代数系统

群的分类

只含有单位元的群称为平凡群。

给定群，若满足交换律，则称其为可交换群，或Abel群。

若集合G是无穷的，则称为无穷群。

给定群，若G是有限集，则称是有限群。表示群的阶。

元素的阶

，则k是使得成立的最小正整数k，若这样的k不存在，则成元素的阶为无限。

在我们的群中，群的阶为群中元素总数，而群元素的阶，则等于其周期。因此，无限群中的元素的阶可能无限也可能是有限的。

定理1：有限群元素的阶一定是有限阶

定理2：若群G中元素a的阶是n，则若有m，使得当且仅当

定理3：有限群中元素阶数小于群的阶数

只需从代数运算的封闭性的角度证明即可。

定理4：若群中元素a的阶为n，则，其中k是任意整数，表示最大公约数

证明：设，有（互质）。有：

设，则根据定理2有，则有，即，而，因此，所以有.

群的性质

性质1：群的左单位元也是有单位元，单位元唯一

这条性质容易证明，只需从左右单位元入手即可，关键在于，这条性质阐明了群的定义是以“充要条件”为方针，因此只将左单位元纳入定义中。

性质2：群中元素的左逆元也是右逆元，逆元唯一

证明：先设是的左逆元，即，只需证=e。设的左逆元为，则有，因此

因此，，于是证明了左逆元等于右逆元。下证唯一性，设另一个逆元为，则，证毕。

性质3（消去律）：；.

该性质是由左右逆元相等的性质导出的。

性质4（唯一解）：群，对任意必存在唯一使得方程成立.

证明：存在性。对任意的a，有，令，则。

唯一性。设有另一个使得，则有.

同理可证，证毕。

该定理其实在阐述“除法”。需要注意的是，这里两种解是不同的，这也是由于群不具有普适的交换律（逆元间有交换律）。

性质5：群中只有单位元是幂等元。

证明：设另有为幂等元，即，则有（消去律）。

意思是，群中幂等元唯一，而半群中幂等元可能不唯一，这取决于各元素的阶。

性质6：群的运算表中，每一行每一列都是群元素的双射

证明：双射即单射和满射，由于每一行或每一列元素个数一样，所以该性质的意思即为任意一行或一列内没有相同的元素。

设某行中的两个不同列上的元素相同，即

这就导致定义域集合不满足互异性，矛盾，得证。

性质7：，.

三、半群与群

在详细讨论了半群与群的定义、性质及其他基础概念性质之后，如何划分二者界限，或者说二者有什么关系，是我们关心的问题，否则介绍半群就意义不大了。

定理1：对半群G，若对任意，方程在G中有解，则G为群

证明：重温上述半群和群的定义，可见差的就是单位元和逆元，因此只需要证明G中存在单位元和逆元即可。

• 对，有成立有解，设该解为；对，成立，设解为c，则，因此e是G的单位元（左右单位元证其一即可）
• 对，有在G中成立，e为单位元，因此方程的解即为a的逆元。

注意本条定理，有解并非充分条件，其实应用到的关键条件只有两个方程或者。

定理2：对有限半群G，若满足消去律，则G为群

证明：设，对任意，可构造一个如下集合

G满足封闭性，因此，所以。若，则存在相等的，因为满足消去律，，这与集合互异性矛盾，因此。即对任意的，都有，也就是说总存在。因此方程在G中有解，同理可证方程在G中有解，因此G是群。

上面两个性质可以概括为

半群方程有解则为群，有限半群满足消去律则为群

这也是判定群的两种方法，而其都是建立在半群的概念之上，而半群的定义是如此简单，这为群的证明带来了便利。

四、子群

什么是子群

其实从名字就容易看出，子群与子空间的概念异曲同工。

已知群，若满足，且是一个群，则S称为G的一个子群。记为.

显然的是，若则群至少有两个子群：，.这两个子群称为平凡子群，而其他的子群称为真子群或非平凡子群，记为

子群的性质

性质1：若是群的非空子群，则群S的单位元就是G的单位元，S中任意元素a的逆元也是a在群G中的逆元。

该性质较为直观，很好说明。

性质2：群G的非空子集S构成子群的充要条件是：（1）若，则. （2）若，则a在G中的逆元

只需证明S是群即可，即只需要证明满足结合律（由于结合律作用于元素，因此只要元素属于G自动满足结合律）、存在逆元（存在逆元自动证明存在单位元）。

性质3：群G的非空子集S构成子群的充要条件是：若， 则.

证明结合律同上，b取即可证明逆元存在性与单位元。

性质4：群G的非空有限子集S构成子群的充要条件是：若，则

证明：必要性显然，下证充分性：只需证明有单位元，有逆元

由于S运算封闭，因为且S有限，故存在使得。 设G的单位元为e，有，根据消去律，，因此有单位元。由于，当，，的逆元为它自己；若，则，因此的逆元为.

由此可见，有限群要比无限群要清晰得多，这是由于单位元自动存在的缘由。

如何生成子群

尽管讨论了子群有着这样那样的性质，但是如何得到一个子群是一个问题。

1、由一个元素生成子群

若，由a生成的子群为，其本质是由一个元素生成的一个循环子群，较为特殊。

2、由子集生成子群

若，由B生成的子群。其本质是，所有包含B的G的子群的交。

3、由子集生成子集

若则，：

• 当且仅当

第一条定理较为明显，H和K都已经是G的子集后，再取交，是一个更为严格的条件，感性上不难理解。理性上，取交集获取了两个子集中均满足“子群”条件的元素，因此依然形成一个子群。

第二条定理可以利用反证法证明：

充分性显然，下证必要性：假设存在元素（），若，则因为h存在逆元，所以矛盾，因此，同理，因此。这样一来，h和k对运算不封闭，与是G的子群矛盾，因此原命题成立。

综上第二条定理得证。

五、特殊的群

1、Abel群

接下来我们讨论一个重要的群，叫做阿贝尔群（Abel）。其定义很简单，即满足交换律的群G称为阿贝尔群，或者交换群。

根据定义容易知道，阿贝尔群是一种满足下面条件的群

设G是一个非空集合，是二元代数运算，如果满足以下条件：

• 代数运算满足结合律
• 代数运算满足交换律
• G中有左单位元e
• 对G中每个元素a，都有左逆元使得

如何判定Abel群

定理：群G是Abel群的充要条件是，对任意元素，有.

这个定理展开容易证明

2、循环群

前面有提到过循环群的概念，从名字容易理解循环的概念。

定义：对于一个群G，如果存在G中的元素a，使得G中任意元素都可以表示为a的幂，则群G称为循环群，a称为G的生成元，记为.

需要注意的是，循环群的生成元不一定唯一。例如，其生成元为1,-1.

循环群与Abel群的关系

定理：任何一个循环群必定是交换群

这与线性空间n阶矩阵的性质一致。

循环群的阶数

循环群的阶，与生成元的阶是一致的，如果生成元的阶是无限的，那么G就是无限循环群；如果生成元的阶是n，则G为n阶循环群。容易预见，有限群有一些特殊的性质。

循环群的性质

性质1：有限群G=(a)，若|G|=n，则，且。

该定理其实是在说明，n阶循环群对应的群结构形式是如何的，充分阐释了循环群阶的概念的决定性。证明分两步:

• ：证明完成后直接可以说明
• 中没有相同的元素：可以说明G的结构

性质2：已知群G=(a)，则若G是无限循环群，则G的生成元是或；若|G|=n,则G有个生成元，为欧拉函数

该性质进一步说明生成元的含义，直接与所生成的循环群对应起来。下面给出该性质的证明：

1. 因为任何可以表示为，都可以表示为，因此也是G的生成元。尽管前面曾提出，生成元不止一个，但在无限循环群的意义上，实质上还是一个。
2. 对于有限阶的群G，根据前面性质1可以容易知道群内的结构，因为元素只能取，可以假设另一个生成元为，显然，因此，但是这并不能说明也是一个生成元，这是由于它可能不是充分的，有可能存在的情况。想要保证其充分性，需要限制。所以生成元的个数即为与n互质的个数（当然包括1，但是不包括n）。

性质4：无限循环群与整数加法群同构；n阶有限群与模n加法群同构。或者：设G=（a)，若a的阶为无限，则G与同构；若a为有限阶，则G与同构。

证明：

（1）若a的阶是无限的，建立映射，若则，因此是单射；对任一k都有，因此是满射。，因此是同构。

（2）若a的阶为有限n，建立映射。同上满足单射和满射，以及同态关系，因此是同构。

循环群的子群

性质1：循环群的子群也是循环群

该定理的出现其实并不以外，这是由于循环群的重点并不是群，前面所讨论的性质1、2，都是以元素为主角，群的生成不过是在循环条件下自然而然的结果。理解了这一层含义，循环群的子群包含了循环群的种子：元素，加上群的运算封闭性，自然也会称为一个循环群，所以一切都不足为怪了。

性质2：无限循环群G的子群除{e}外，也是无限的

结合上面所言，既然包含无限循环群的种子，那也自然是无限循环群了。

性质3：有限循环群G，其子群的阶是群G阶的因子，且G有且仅有一个子群，其阶为该因子

证明：设S是G的任一子群，S={e}显然满足，下面考虑其他情况。、

设，m是其中最小的正幂。设，即，又由于阶数是最小归一(e)周期（暂且这样说吧），所以才有。这就证明了前半部分性质。后半部分需要证明唯一性。

假设G还有另一个阶数为d的子群，m为最小正幂，则有，容易知道（因为n是最小归一阶，）所以，可以设，，因此，而，因此.

3、置换群

置换的定义与表示

定义：A非空集合，，关于函数乘积（复合）构成的群称为交换群。有限群的变换群称为置换群。

理解其定义的关键有二，元素与运算，这和其群的称号息息相关。首先，置换群的元素为映射，且这个映射是一个变换，因为它的定义域和值域都是A；其次，它的运算是映射乘法，即复合。这就好比高代中的线性变换构成的线性空间。

其实这里需要进行一个证明，因为我们不知道这样构造出来的“映射组成的群”是否真正成为一个群。只需要从以下几点证明即可，此处只列出而不加详述：

• 存在单位元：恒等变换
• 逆函数恒存在
• 函数乘法封闭且满足结合律

鉴于这个群较难理解，就举两个栗子：

1. G为群，对，令，则集合关于变换复合构成G上的交换群。之所以能成为一个置换群，是因为它；利用了G对元素乘法的封闭性，即任何元素乘以仍然属于G。
2. ，可构成，则集合关于函数符合构成G上的置换群。该例与1相似，也是用封闭的加法来定义映射，因此自动保证了f是一个变换。

从这两个例子来看，置换群是基于运算的封闭。

置换的表示我们采用列举法，但是我们的列举需要表现出对应关系，因此我们的表示如下：

如的六个置换（至于为什么有六个不用多说了吧）为：

轮换及其表示

轮换：若一个置换把变成，变成，...，变成，变回，这个过程称为轮换。像上述变换k次为一个周期称为轮换

有了置换，就容易理解轮换。轮换其实就是置换循环群，即这个置换群是一个有限循环群（至于为何称之为置换群而不是对换群，是因为已经保证有限了）。提出了轮换的概念，自然也需要介绍轮换的表示，第一种表示就是利用置换的表示，用一个二阶矩阵表示各个元素的对应即可；除此之外，还可以借助一个一维矩阵表征，例如对换，可以表示为，与之对应的置换表示为：

可见轮换表示大大简化了置换表示，也把其轮换特征表现得很清楚。

特别的，1-轮换称为恒等变换，2-轮换称为对换。所谓不相交轮换，指的是两个轮换之间不涉及同一个元素。

置换的性质

性质1：任何群G都和一个变换群S同构，每一个有限群都和一个置换群同构。

证明：就是说只需要找到一个同构映射即可。其实在上面两个例子已经可以洞见这个映射的构造方法了。即对于，只需要构造映射即可，也就是说，利用群运算的封闭性。所以，。若，根据群的性质，则有，因此是单射；漫射对G中任一x，有，证毕。

性质2：不相交轮换乘积可交换

该性质很容易理解，这是因为不相交轮换之间还是相互比较独立的。尽管这条性质十分简单，但确实下面部分性质的重要依据。

性质3：有限置换可表示为不相交轮换积，不相交轮换可表示为对换积

证明：

（1）先证有限置换可表示为不相交轮换积，这里不做数学上的严格证明，而只给出描述性证明。如下图：!

有限置换分解为不相交轮换积

我们按照轮换的规律重新排序，可以理解为对角线对齐。这是一定可以分解成若干有限不相交轮换的。有限是由群本身有限决定的；不相交可以参看上例，由于在置换表示中，每个元素至多出现两次（第一行一次、第二行一次），而我们保证了对角线对齐，将元素出现的次数耗尽，因此这个元素只可能出现在一个轮换当中。

最后的结果也就应运而生了。

（2）这里也给出描述性的证明，对于轮换，有下面的分解：

至此，我们可以知道的是，任何置换可以表示为多个对换的乘积。

性质4：每个置换表成对换的乘积时，其对换个数的奇偶不变

需要明确的是，尽管可以分解，但是分解并不唯一，例如，但是奇偶是不变的。

证明：设，即分解成m个对换，则将排列变为，根据高代行列式定义可知，没对换一次，就会改变排列的奇偶性，而是偶排列，因此m与奇偶性一致。

置换的一个有趣的应用是解决华容道可解问题：

华容道可解问题

对于这个华容道问题，我们的移动其实是对空格的移动，我们将空格编号为9。因为空格最终位置仍在右下角，所以不管空格向上或向左移动多少次，总要向下或向右移动同样的次数，也就是空格总共需要移动偶数次。由于最终我们希望的结果为（9为空格）是一个偶排列，而且移动对换次数为偶数，因此当前的排列也应当是偶排列，但是是奇排列，所以本次游戏无解。

六、陪集

什么是陪集

定义：设H是群G的子群，，有，则aH，Ha分别称为群G关于子群H的一个左陪集、右陪集

可以看出，陪集扮演一个类似值域的角色。举例如下：

对于置换群G（如下图）

image.png

取其子群，则其一个左陪集，因为有，所以，同理可得一个右陪集

陪集的指数

由于该定义涉及一个重要定理的叙述，因此提前叙述之。

定义：群G的子群H的所有不同左陪集（右陪集）的个数，称为H在G里的指数。表示为.

陪集的性质

性质1：H是G的子群，，则有以下结论：

• （等势）
• 若，则
• 群G上全体不同的左陪集（或右陪集）构成群G元素的分类，对G中任意若同属一类，当且仅当或

证明：这里对每个小结论进行简要说明

1. 只需构造一个映射，证明其为双射即可，而根据群的性质（消去律）容易证明。
2. 由于子群有单位元，所以显然
3. 必要性：根据第二条，，又因为二者相等，所以；充分性：只需证明，再根据第一条可证
4. 必要性显然，充分性：存在H中的h，使得，则
5. 充分性易证，必要性：（第3条）同理可证
6. 根据第四条，容易证明。
7. 根据第6条和第5条容易证明

其实性质1的这些描述，与高等代数中的商空间十分相似，其划分对象，并非一个个元素，而是一个整体，尤其是第4条，与商空间一致，而第七条给出了划分规则。

性质2：H是群G的子群，则是G中的一个等价关系，对于，记为，则有

该性质是性质1第七条的直接推出结果，即通过一个子群，可直接利用陪集的关系与性质，划分出陪集空间。

性质3（拉格朗日定理）：H是G的子群，若G是有限群，，则.

有了性质2的明确描述，我们能做到一件事情：区分群G关于H的陪集。在此基础上，我们才能进一步加深“指数”的概念。至于如何计算指数，拉格朗日定理给出了答案，指数等于群和子群阶数的商。证明较为简单，只需要根据G的陪集分解，然后寻求阶数关系即可。

性质4：群，对于任意，是n的因子，且必有a，。若n是质数，则群G是循环群

性质的前半部分显然，后半段，如果n是质数，也就是说a的阶就等于n，也等于G的阶数，那G一定是a生成的循环群，因为a能生n个。

七、完结~

莫名其妙就完了，感觉没学到啥啊哈哈哈