【二分查找】几种基本题型，你会了吗？

1、概述

在进行诸如在有序数组中查找指定元素时使用搜索算法。搜索算法中除了使用枚举遍历之外，还可以通过二分查找来进行搜索查找。针对一组有序数组，或者可以通过排序方法得到有序数组，需要查找到对应元素或者找到满足某些条件的元素的下标等等，这就需要用到今天的 二分查找算法。在数组中查找指定元素，最坏的情况下目标元素在数组的末尾，因此枚举的方法时间复杂度为 $O(n)$ 。但是通过今天学习的 二分查找 算法可以将搜索的时间复杂度降到 $O(logn)$ 。

2、二分查找的原理

二分查找，也叫折半查找，每次查找指定元素或者待查项，都是根据条件将搜索范围缩小到一半，然后再在这一半的范围内根据条件，再缩小范围，直至找到需要的元素，或者跳出循环。

3、二分查找实现

二分查找算法是经常使用的时间复杂度为 $O(logn)$ 的算法，有时题目中明确限定题解的时间复杂度必须是 $O(logn)$ 或者 $O(nlogn)$，那么多半就是可以利用二分查找的方法对塞法进行优化。

正因为二叉查找算法被多次使用，所以很多程序语言都将二分查找算法封装好，以方便开发者随时调用。比如 C++中的 binary_search()、upper_bound()、lower_search() ，其中 binary_search() 详解见 3.1 节中的 binarySearch() ，后二者则在 3.2 节中有具体说明。python 中也有封装好的函数，值得一提的是 bisect(ls, x)、bisect_right(ls, x) 和 bisect_left(ls, x) 与上文提到的 C++ 中的库函数功能一一对应。

3.1 查找指定值

// 在有序数组中利用双指针实现二分查找，查找指定元素，如果指向元素不存在则返回 -1 
// binary_search(nums.begin(), nums.end(), target)
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {

	int n = nums.size();
	int l = 0, r = n - 1;
	while (l <= r) {
		// int mid = (l + r) >> 1;      // 为了防止溢出进行如下改进
		int mid = l + ((r - l) >> 1); 	// 注意 + 与 >> 的符号优先级
		if (nums[mid] > target) {
			r = mid - 1;
		}
		else if (nums[mid] < target) {
			l = mid + 1;
		}
		else {
			return mid;
		}
	}

	return -1; // 如果数组中不存在指定元素返回 -1
}

3.2 查找>=target的最小下标

// 在升序数组中查找比target大的最小下标，如果不存在则返回 -1
int getBiggerThanTarget(vector<int>& nums, int target) {

	int n = nums.size();
	int ans = -1;						// 二分查找要考虑到ans初始化情况，可以初始化为-1
	int l = 0, r = n - 1;
	while (l <= r) {
		int mid = l + ((r - l) >> 1);
		if (nums[mid] >= target) {		// 把这里的=去掉就是查找 >target的最小下标值
			ans = mid;
			r = mid - 1;
		}
		else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	// 通过判断 ans 是否为-1，可以判断是否存在 >=target的最小下标
	return ans;
}

程序语言：lower_bound(nums.begin(), nums.end(), target)
实现功能：Returns an iterator pointing to the first element in the range [first,last) which does not compare less than val（实现返回第一个大于等于 $\text{Target}$ 的迭代器的功能）
获取元素：通过解引用的方法获得 $\text{>= target}$ 的最小下标可以得到对应的元素
获取下标：通过 $\text{lower\_bound(nums.begin(), nums.end(), target) - nums.begin()}$ 来获取下标.

$\text{还有一个}$：

程序语言：upper_bound(nums.begin(), nums.end(), target)
实现功能：Returns an iterator pointing to the first element in the range [first,last) which compares greater than val（查找 $\text{> target}$ 的最小下标）.
获取元素：通过对返回的迭代器解引用可以得到对应的元素，
获取下标：通过 $\text{upper\_bound(nums.begin(), nums.end(), target) - nums.begin()}$ 来获取下标.

3.3 查找<=target的最大下标

// 查找比target大的最小下标 1 2 2 3 4 
int getBiggerThanTarget(vector<int>& nums, int target) {

	int n = nums.size();
	int ans = -1;						// 二分查找要考虑到ans初始化情况，可以初始化为-1
	int l = 0, r = n - 1;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (nums[mid] <= target) {		// 把这里的=去掉就是查找 
			ans = mid;
		    l = mid + 1;
		}
		else {
			r = mid - 1;
		}
	}
	// 通过判断 ans 是否为-1，可以判断是否存在 <=target的最大下标
	return ans;
}

4、二分枚举答案

题目是 CSDN 周赛 27 期的题目。选定一个正整数 X，依次去掉该数字的最后一位直至去掉所有的数位。在整个过程中把所有出现过的数字相加得到一个 sum 值。例如 X＝509，进行去位操作中出现的数字依次是 509，50，5，它们的和为 564 。现在给出一个 sum ，请求出对应的Ｘ。
正整数sum范围为 $1<=sum<=10^{18}$ 。

面对这样的一道题目，根据 sum 的值倒推 X 从无下手。那就正着想，假设现在已经知道 X 的值，根据题意进行模拟就可以轻松得到 sum 值，于是可以想到对所有可能出现的答案一一进行模拟，那么可以推导出 sum 值的那个数就是最终答案了。根据题目中提示的sum的范围可知，答案枚举的范围也就是 [1, $10^{18}$]，时间复杂度为 O(n) ，n表示可能出现的答案的长度。

优化：由简单的推理可以知道随着 X 数值的增大，sum 数值也是在增大的，那么可以利用二分查找的方法来优化时间复杂度。最终呈现的代码就是二分查找的解法。

long long getX(long long sum) {
	long long l = 1, r = 1e18;
	
	while (l <= r) {
		long long x = l + (r - l) >> 1;
		long long sum0 = x;
		while (x) {
			sum0 += x / 10;
			x /= 10;
		}
		

		if (sum0 > sum) {
			r = mid - 1;
		}
		else if (sum0 < sum) {
			l = mid + 1;
		}
		else {
			return x;
		}
	}
	
	return -1;
}

5、总结

（1）常看常新：无论是学习哪种编程语言的都离不开对数据结构的学习，在边学边用过程中，总会有一些算法，比如二分查找，第一次学习的时候感觉已经学的很顺了，但是在某一次使用解题的过程中会发觉，写的不顺了，逻辑不通了，错误百出了，对于经典算法没有肌肉记忆了，这个时候就是我们回过头再次学习的时候了；
（2）学会查询一些官方说明文档：比如 C++ Reference，Python Reference，这些都是一手资料，比很多经过很多人咀嚼的二手资料更贴近算法的“底层”，因为你很难了解到你参考的二手资料作者的知识水平，再一个就是任何分析题解都是以自己的思考角度分析的，很难与读者的角度契合，总归要回归原始的。