动态规划详解Python
动态规划
动态规划（Dynamic Programming）是一种用于解决复杂问题的算法设计方法。它通常用于优化问题，其中问题可以被分解成一系列重叠子问题，通过存储并重复使用已经解决过的子问题的解，可以避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划的基本思想是将原始问题分解成若干个子问题，并逐个求解这些子问题的最优解。通过定义状态和状态转移方程，可以将问题的求解转化为一个递推过程，从而得到最优解。
动态规划算法的核心步骤通常包括以下几个方面：
- 定义问题的状态：将原始问题抽象为一个或多个子问题，并定义状态来表示子问题的解。
- 确定状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程，描述当前状态和之前状态之间的关系。
- 确定初始条件：确定最简单的子问题的解，即初始状态的值。
- 递推求解：使用状态转移方程和初始条件，逐步计算出更复杂的子问题的解，直到得到原始问题的解。
- 解析解：根据子问题的解，逐步还原出原始问题的解。
动态规划算法通常具有较高的时间复杂度，但通过存储已解决的子问题的解，可以大大减少重复计算，提高算法效率。它在许多领域有广泛的应用，如组合优化、图论、序列比对、路径规划等。
斐波那契数列
这里简单的解释一下斐波那契数列：F(0) = 0 , F(1) = 1
F(N) = F(N-1) + F(N-2) , N>1 数列前几项如下：
0 1 1 2 3 5 8 13 21…
递归代码和非递归代码比较
import time
def calculate_time(func):
def wrapper(*args, **kwargs):
start_time = time.time()
result = func(*args, **kwargs)
end_time = time.time()
execution_time = end_time - start_time
print(f"函数 {func.__name__} 的执行时间为：{execution_time} 秒")
return result
return wrapper
@calculate_time
def func1(n):
return _func1(n)
# 存在大量的子问题重复计算
def _func1(n):
if n <= 1:
return n
return _func1(n - 1) + _func1(n - 2)
# 把需要用到的子问题存起来
@calculate_time
def func2(n):
f = [0, 1]
if n > 1:
for i in range(n - 1):
num = f[-1] + f[-2]
f.append(num)
return f[n]
print(func1(36))
print(func2(36))
运行结果：
函数 func1 的执行时间为：3.150125503540039 秒
14930352
函数 func2 的执行时间为：0.0 秒
14930352
爬楼梯
问题：有一个楼梯，总共有10级台阶，每次只能走一级或者两级台阶，全部走完，有多少种走法？
找规律得到递推式：
def climbStairs(self, n: int) -> int:
f = [0,1,2]
if n > 2:
for i in range(n-2):
r = f[-1] + f[-2]
f.append(r)
return f[n]
最大回撤
问题：有一个数组，求其中两个数x,y，满足x的索引小于y的索引，使得 x-y 最大。例如 arr = [3,7,2,6,4,1,9,8,5]， 最大回撤是6，对应的x=7,y=1。
初始时，设max_drop=0，peak都设为arr[0]。然后从左到右遍历数组，对于每个元素price：
- 如果price大于peak，更新peak为当前的price。
- 否则，计算当前的回撤值drop，即peak - price。
- 如果drop大于max_drop，更新max_drop为当前的drop。
最终，max_drop就是最大回撤的值。
# 只返回最大回撤的金额
def calculate_max_drawdown(arr):
max_drop = 0
peak = arr[0]
for i in range(1, len(arr)):
if arr[i] > peak:
peak = arr[i]
else:
drop = peak - arr[i]
if drop > max_drop:
max_drop = drop
return max_drop
# 示例用法
arr = [3, 7, 2, 6, 4, 1, 9, 8, 5]
max_drawdown = calculate_max_drawdown(arr)
print(max_drawdown) # 输出: 6
要求计算出最大回撤，并且对应的返回x和y
可以使用动态规划的思想来解决这个问题。我们可以定义一个变量max_sum来跟踪当前的最大子数组和，以及一个变量current_sum来记录当前的子数组和。
初始时，将max_sum和current_sum都设为数组中的第一个元素。然后从数组的第二个元素开始遍历，对于每个元素num：
- 将current_sum与0比较，取其中较大的值，并将num加到current_sum中，得到新的current_sum。
- 将current_sum与max_sum比较，取其中较大的值，并将结果赋给max_sum。
最终，max_sum就是最大连续子数组的和。
def calculate_max_drawdown(arr):
max_drop = 0
peak = 0
start_index = 0
end_index = 0
for i, price in enumerate(arr):
if price > peak:
peak = price
else:
drop = peak - price
if drop > max_drop:
max_drop = drop
start_index = arr.index(peak)
end_index = i
return max_drop, start_index, end_index
# 示例用法
arr = [3, 7, 2, 6, 4, 1, 9, 8, 5]
max_drawdown, start_index, end_index = calculate_max_drawdown(arr)
print("最大回撤：", max_drawdown)
print("起始索引：", start_index)
print("结束索引：", end_index)
输出：
最大回撤： 6
起始索引： 1
结束索引： 4
最大连续子数组和
问题：给定一个数组，求其最大连续子数组的和。例如：arr = [1,5,-10,2,5,-3,2,6,-3,1]. 输出为：12。对应的连续子数组为 [2,5,-3,2,6]。
def max_subarray_sum(arr):
max_sum = arr[0]
current_sum = arr[0]
for num in arr[1:]:
current_sum = max(num, current_sum + num)
max_sum = max(max_sum, current_sum)
return max_sum
# 示例用法
arr = [1, 5, -10, 2, 5, -3, 2, 6, -3, 1]
max_sum = max_subarray_sum(arr)
print(max_sum) # 输出: 12
"""同时输出对应的子数组"""
def max_subarray_sum(arr):
max_sum = arr[0]
current_sum = arr[0]
start_index = 0
end_index = 0
temp_start_index = 0
for i, num in enumerate(arr[1:], start=1):
if num > current_sum + num:
temp_start_index = i
current_sum = num
else:
current_sum = current_sum + num
if current_sum > max_sum:
start_index = temp_start_index
end_index = i
max_sum = current_sum
subarray = arr[start_index:end_index + 1]
return max_sum, subarray
# 示例用法
arr = [1, 5, -10, 2, 5, -3, 2, 6, -3, 1]
max_sum, subarray = max_subarray_sum(arr)
print("最大连续子数组和：", max_sum)
print("最大连续子数组：", subarray)
输出：
最大连续子数组和： 12
最大连续子数组： [2, 5, -3, 2, 6]
最长不重复子串
题目形式：给定一个字符串，找出没有重复字符的最长的子串。例如输入“abcbefgf”，答案是 “cbefg”。
算法步骤如下：
-
定义两个指针，start 和 end，分别表示滑动窗口的起始位置和
-
结束位置，初始时两个指针都指向字符串的开头。
-
定义一个集合 seen，用于存储滑动窗口中出现过的字符。
-
定义两个变量 max_length 和 max_substring，分别用于记录最长子串的长度和内容，初始时都为 0。开始遍历字符串，从左到右依次移动 end 指针：
—a.如果当前字符 s[end] 在集合 seen 中不存在，说明是一个新的字符，将其加入 seen 中，并更新 end 指针。
—b.如果当前字符 s[end] 在集合 seen 中已经存在，说明遇到了重复字符。此时需要移动 start 指针，并更新 seen 集合，直到滑动窗口中不再有重复字符。—c.在每次移动 end 指针时，都需要更新 max_length 和 max_substring，以记录当前的最长子串。
-
遍历结束后，返回最长子串 max_substring。
def longest_unique_substring(s):
start = 0
end = 0
seen = set()
max_length = 0
max_substring = ""
while end < len(s):
if s[end] not in seen:
seen.add(s[end])
end += 1
else:
if end - start > max_length:
max_length = end - start
max_substring = s[start:end]
seen.remove(s[start])
start += 1
if end - start > max_length:
max_substring = s[start:end]
return max_substring
# 示例用法
s = "abcbefgf"
result = longest_unique_substring(s)
print(result) # 输出: "cbefg"
全排列
问题：给定一个数组，找出其所有可能的排列。例如: arr = [1,1,3]，输出为 [[1,1,3],[1,3,1],[3,1,1]]。
def permute_unique(nums):
# 定义递归函数，生成给定位置上的所有可能排列
def backtrack(start):
# 终止条件：当遍历到数组末尾时，将当前生成的排列加入结果集
if start == len(nums):
permutations.append(nums[:]) # 将当前排列加入结果集
return
# 使用一个集合来记录已经选择过的元素，避免重复生成相同的排列
used = set()
# 从当前位置开始，依次尝试每个元素作为当前位置的元素
for i in range(start, len(nums)):
# 如果当前元素已经被选择过，则跳过
if nums[i] in used:
continue
# 进行选择：将当前元素加入路径，并标记为已选择
used.add(nums[i])
nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start]
# 递归调用自身，在新的位置上生成剩余元素的所有可能排列
backtrack(start + 1)
# 撤销选择：将当前选择的元素从路径中移除，并将其标记为未选择，以便进行下一次选择
nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start]
used.remove(nums[i])
permutations = [] # 结果集，用于存储所有排列
backtrack(0) # 从位置0开始生成所有排列
return permutations
# 示例用法
nums = [1, 1, 3]
result = permute_unique(nums)
print(result)
快速排序+二分查找
def partition(lst, left, right):
temp = lst[left]
while left < right:
while left < right and lst[right] >= temp:
right -= 1
lst[left] = lst[right]
while left < right and lst[left] <= temp:
left += 1
lst[right] = lst[left]
lst[left] = temp
return left
arr = [5, 2, 8, 6, 3]
print(partition(arr, 0, len(arr) - 1))
def quick_sort(lst, left, right):
if left < right:
mid = partition(lst, left, right)
quick_sort(lst, left, mid)
quick_sort(lst, mid + 1, right)
quick_sort(arr, 0, len(arr) - 1)
print(arr)
# 二分查找只适用于在有序序列中查找元素
def binary_search(lst, val):
left = 0
right = len(lst) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if lst[mid] == val:
return mid
elif lst[mid] > val: # 说明要查找的值在mid的左边
right = mid - 1
else: # 说明要查找的值在mid的右边、
left = mid + 1
# 代码执行至此说明没有找到元素val，返回-1
return -1
# 注意：mid定义在while循环里面
print(binary_search(arr, 8))
输出：
2
[2, 3, 5, 6, 8]
4
合并两个有序数组（归并排序）
题目形式：给定两个按升序排列的有序数组，将它们合并成一个新的有序数组。例如：a = [1,2,6,8], b = [2,4,7,10]，输出为 arr = [1,2,2,4,6,7,8,10]
# 定义合并函数，将两个有序序列合并为一个有序序列
def merge(lst, left, mid, right):
"""
思路：定义一个列表merged，循环比较两个有序序列的首元素大小，并放入临时空列表。
"""
if left < right:
merged = []
i = left
j = mid + 1
while i <= mid and j <= right:
if lst[i] < lst[j]:
merged.append(lst[i])
i += 1
else:
merged.append(lst[j])
j += 1
# 代码执行至此，有一个序列元素为空，另一个不为空，接下来将剩下的元素放入空列表
while i <= mid:
merged.append(lst[i])
i += 1
while j <= right:
merged.append(lst[j])
j += 1
lst[left:right + 1] = merged
return lst
def _merge_sort(lst, left, right):
if left < right:
mid = (left + right) // 2
_merge_sort(lst, left, mid)
_merge_sort(lst, mid + 1, right)
merge(lst, left, mid, right)
@calculate_time
def merge_sort(lst):
_merge_sort(lst, 0, len(lst) - 1)
if __name__ == '__main__':
# 测试代码
lst = list(range(10000))
random.shuffle(lst)
print(lst)
merge_sort(lst)
print(lst)
三数之和
def sum_of_three(arr,target):
assert len(arr)>=3,"len(arr) should >=3!"
arr.sort()
ans = set()
for k,c in enumerate(arr):
i,j = k+1,len(arr)-1
while i<j:
if arr[i]+arr[j]+c <target:
i = i+1
elif arr[i]+arr[j]+c > target:
j = j-1
else:
ans.update({(arr[k],arr[i],arr[j])})
i = i+1
j = j-1
return(list(ans))
print(sum_of_three([-3,-1,-2,1,2,3],0))