文章目录
- 1. 01背包问题
- 2. 完全背包问题
- 3. 多重背包问题
- (1)多重背包问题 I
- (2)多重背包问题 II
- 4. 分组背包问题
通过例子进行讲解:
有 N
件物品和一个容量是 V
的背包。每件物品只能使用一次
。
第 i
件物品的体积是 vi
,价值是 wi
。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大
。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N
,V
,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N
行,每行两个整数 vi,wi
,用空格隔开,分别表示第 i
件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0
0
输入样例:
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
解题思路:
如图所示,将背包问题状态表示为f[i][j]
,其含义为从前i
个物品中选择物品,选择的物品总体积V总 <= j
,所选择的物品总价值最大值就是f(i,j)
。
在状态计算时,可将状态集合进行划分,划分为不包含第i种物品
的最大价值f[i - 1][j]
和包含第i种物品
的最大价值f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
,最后将两者进行比较,即可求得最终的f[i][j]
。
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
可以发现,f[i][j]
只与f[i-1][j]和f[i-1][j-v[i]]
相关,前i
种物品的状态选择可以用前i-1
种物品的状态来表示,所以我们可以将f[i][j]
的二维状态优化为一维状态进行表示。
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
注意⚠️:这里进行优化时,在循环的过程中,我们需要将j
初始化为m
,从大到小进行遍历,这样循环体中的f[j - v[i]]
就相当于f[i - 1][j - v[i]]
。
通过例子进行讲解:
有 N
种物品和一个容量是 V
的背包,每种物品都有无限件
可用。
第 i
种物品的体积是 vi
,价值是 wi
。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量
,且总价值最大
。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V
,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N
行,每行两个整数 vi,wi
,用空格隔开,分别表示第 i
种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0
0
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例
10
解题思路:
完全背包问题对于每种物品的个数没有限制,在背包体积大小固定队情况下选择物品,所选物品的总体积不能超过背包体积,使得所选物品的总价值最大。
在这里进行状态计算时,将该状态下的集合进行划分为包含0件第i种物品的总价值最大值
、包含1件第i种物品的总价值最大值
、包含2件第i种物品的总价值最大值
,依此类推,包含k件第i种物品的总价值最大值
,通过将集合进行划分,求得每种情况下价值的最大值,最后比较,即可得到最终的价值最大值。
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= m; j++)
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + w[i] * k);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
对于完全背包问题,同样可以将状态从二维优化为一维,如下所示:
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
有 N
种物品和一个容量是 V
的背包。
第 i
种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量
,且价值总和最大
。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V
,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N
行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i
种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V
≤100
0
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例
10
多重背包问题限制每件物品的个数为si,在背包体积大小固定的情况下选择物品,所选物品的总体积不能超过背包体积,使得所选物品的总价值最大。
此时使用f[i][j]
表示前i
种物品总体积不超过j
的情况下的总价值最大值。
f[i][j]
可表示为f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k); 其中k = 0, 1, 2, ... , s[i]
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= m; j++)
for (int k = 0; k * v[i] <= j && k <= s[i]; k++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
多重背包问题同样可进行优化,在上边讲解中,需要考虑第i
种物品取1, 2, 3, ... , s[i]
,其实可以进行二进制优化,把每种物品进行二进制划分,比如第i
种物品可分别划分为1, 2, 4, 8, … , 2k, c,其中c
<2k+1,也就是说将第i
种物品进行重新打包,每个包裹里有1件、2件、4件等等。通过以上操作,将每件物品都进行打包后,可以把多重背包问题转化为01背包问题
,因为打包后的第i
种物品进行组合后,可以得到0~s[i]
件中任意件物品。
有 N
种物品和一个容量是 V
的背包。
第 i
种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量
,且价值总和最大
。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V
,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N
行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i
种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0
0
0
提示:
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例
10
代码如下:
#include
#include
using namespace std;
const int N = 12010, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0; //将多重背包问题映射为01背包问题
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while (k <= s)
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k *= 2;
}
if (s > 0)
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
通过例子进行讲解:
有 N
组物品和一个容量是 V
的背包。
每组物品有若干个,同一组内的物品最多只能选一个
。
每件物品的体积是 vij,价值是 wij,其中 i
是组号,j
是组内编号。
求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量
,且总价值最大
。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数 N,V
,用空格隔开,分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N
组数据:
每组数据第一行有一个整数 Si,表示第 i
个物品组的物品数量;
每组数据接下来有 Si 行,每行有两个整数 vij,wij,用空格隔开,分别表示第 i
个物品组的第 j
个物品的体积和价值;
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0
0i≤100
0
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例
8
解题思路:
分组背包问题限制同一组物品最多只能选一个,在背包体积大小固定的情况下分组选择物品,所选物品的总体积不能超过背包体积,使得所选物品的总价值最大。如下图所示:
在这里进行状态计算时,从前i
组中进行选择的集合可划分为不选择第i组物品的总价值最大值
、包含第i组第1个物品的总价值最大值
、包含第i组第2个物品的总价值最大值
,依此类推,包含第i组第k个物品的总价值最大值
,通过将集合进行划分,求得每种情况下价值的最大值,最后比较,即可得到最终的价值最大值。
代码如下:
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> s[i];
for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= 0; j -- )
for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
if (v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
参考资料:AcWing的算法基础课
链接:https://www.acwing.com/blog/content/277/