题目描述
这是 LeetCode 上的 [96. 不同的二叉搜索树]() ，难度为 中等。
Tag : 「树」、「二叉搜索树」、「动态规划」、「区间 DP」、「数学」、「卡特兰数」
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？
返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3
输出：5示例 2：
输入：n = 1
输出：1提示：
- $1 <= n <= 19$
区间 DP
沿用 95. 不同的二叉搜索树 II 的基本思路，只不过本题不是求具体方案，而是求个数。
除了能用 95. 不同的二叉搜索树 II 提到的「卡特兰数」直接求解 $n$ 个节点的以外，本题还能通过常规「区间 DP」的方式进行求解。
求数量使用 DP，求所有具体方案使用爆搜，是极其常见的一题多问搭配。
定义 $f[l][r]$ 为使用数值范围在 $[l, r]$ 之间的节点，所能构建的 BST 个数。
不失一般性考虑 $f[l][r]$ 该如何求解，仍用 $[l, r]$ 中的根节点 i 为何值，作为切入点进行思考。
根据「BST 定义」及「乘法原理」可知：$[l, i - 1]$ 相关节点构成的 BST 子树只能在 i 的左边，而 $[i + 1, r]$ 相关节点构成的 BST 子树只能在 i 的右边。所有的左右子树相互独立，因此以 i 为根节点的 BST 数量为 $f[l][i - 1] \times f[i + 1][r]$，而 i 共有 $r - l + 1$ 个取值（$i \in [l, r]$）。
即有：
$$ f[l][r] = \sum_{i = l}^{r} (f[l][i - 1] \times f[i + 1][r]) $$
不难发现，求解区间 $[l, r]$ 的 BST 数量 $f[l][r]$ 依赖于比其小的区间 $[l, i - 1]$ 和 $[i + 1, r]$，这引导我们使用「区间 DP」的方式进行递推。
不了解区间 DP 的同学，可看 前置
一些细节：由于我们 i 的取值可能会取到区间中的最值 l 和 r，为了能够该情况下，$f[l][i - 1]$ 和 $f[i + 1][r]$ 能够顺利参与转移，起始我们需要先对所有满足 $i >= j$ 的 $f[i][j]$ 初始化为 1。
Java 代码：
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[][] f = new int[n + 10][n + 10];
for (int i = 0; i <= n + 1; i++) {
for (int j = 0; j <= n + 1; j++) {
if (i >= j) f[i][j] = 1;
}
}
for (int len = 2; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
for (int i = l; i <= r; i++) {
f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
}
}
}
return f[1][n];
}
}C++ 代码：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector> f(n + 2, vector(n + 2, 0));
for (int i = 0; i <= n + 1; i++) {
for (int j = 0; j <= n + 1; j++) {
if (i >= j) f[i][j] = 1;
}
}
for (int len = 2; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
for (int i = l; i <= r; i++) {
f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
}
}
}
return f[1][n];
}
}; Python 代码：
class Solution(object):
def numTrees(self, n):
f = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
for i in range(n + 2):
for j in range(n + 2):
if i >= j:
f[i][j] = 1
for length in range(2, n + 1):
for l in range(1, n - length + 2):
r = l + length - 1
for i in range(l, r + 1):
f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r]
return f[1][n]TypeScript 代码：
function numTrees(n: number): number {
const f = new Array(n + 2).fill(0).map(() => new Array(n + 2).fill(0));
for (let i = 0; i <= n + 1; i++) {
for (let j = 0; j <= n + 1; j++) {
if (i >= j) f[i][j] = 1;
}
}
for (let len = 2; len <= n; len++) {
for (let l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
const r = l + len - 1;
for (let i = l; i <= r; i++) {
f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
}
}
}
return f[1][n];
};- 时间复杂度：$O(n^3)$
- 空间复杂度：$O(n^2)$
区间 DP（优化）
求解完使用 $[1, n]$ 共 $n$ 个连续数所能构成的 BST 个数后，再来思考一个问题：使用 $[L, R]$ 共 $n = R - L + 1$ 个连续数，所能构成的 BST 个数又是多少。
答案是一样的。
由 $n$ 个连续数构成的 BST 个数仅与数值个数有关系，与数值大小本身并无关系。
由于可知，我们上述的「区间 DP」必然进行了大量重复计算，例如 $f[1][3]$ 和 $f[2][4]$ 同为大小为 $3$ 的区间，却被计算了两次。
调整我们的状态定义：定义 $f[k]$ 为考虑连续数个数为 $k$ 时，所能构成的 BST 的个数。
不失一般性考虑 $f[i]$ 如何计算，仍用 $[1, i]$ 中哪个数值作为根节点进行考虑。假设使用数值 $j$ 作为根节点，则有 $f[j - 1] \times f[i - j]$ 个 BST 可贡献到 $f[i]$，而 $j$ 共有 $i$ 个取值（$j \in [1, i]$）。
即有：
$$ f[i] = \sum_{j = 1}^{i}(f[j - 1] \times f[i - j]) $$
同时有初始化 $f[0] = 1$，含义为没有任何连续数时，只有“空树”一种合法方案。
Java 代码：
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] f = new int[n + 10];
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
}
}
return f[n];
}
}C++ 代码：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector f(n + 10, 0);
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
}
}
return f[n];
}
}; Python 代码：
class Solution:
def numTrees(self, n: int) -> int:
f = [0] * (n + 10)
f[0] = 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, i + 1):
f[i] += f[j - 1] * f[i - j]
return f[n]TypeScript 代码：
function numTrees(n: number): number {
const f = new Array(n + 10).fill(0);
f[0] = 1;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= i; j++) {
f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
}
}
return f[n];
};- 时间复杂度：$O(n^2)$
- 空间复杂度：$O(n)$
数学 - 卡特兰数
在「区间 DP（优化）」中的递推过程，正是“卡特兰数”的 $O(n^2)$ 递推过程。通过对常规「区间 DP」的优化，我们得证 95. 不同的二叉搜索树 II 中「给定 $n$ 个节点所能构成的 BST 的个数为卡特兰数」这一结论。
对于精确求卡特兰数，存在时间复杂度为 $O(n)$ 的通项公式做法，公式为 $C_{n+1} = \frac{C_n \cdot (4n + 2)}{n + 2}$。
Java 代码：
class Solution {
public int numTrees(int n) {
if (n <= 1) return 1;
long ans = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
return (int)ans;
}
}C++ 代码：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
if (n <= 1) return 1;
long long ans = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
return (int)ans;
}
};Python 代码：
class Solution:
def numTrees(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return 1
ans = 1
for i in range(n):
ans = ans * (4 * i + 2) // (i + 2)
return ansTypeScript 代码：
function numTrees(n: number): number {
if (n <= 1) return 1;
let ans = 1;
for (let i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
return ans;
};- 时间复杂度：$O(n)$
- 空间复杂度：$O(1)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.96 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
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