图系列（四）欧拉通路与欧拉回路

欧拉通路与欧拉回路

之前，写了图系列一二三，现在出四啦！这也意味着，对于图的部分，可以说50%以上常用的内容就已经过了一遍了。欧拉路的部分会稍微难一点，主要是我们要和定义打交道了。至于其他图的理论，我感觉比较有用的就不剩下多少了。可能就还有同构什么的，还会有一些探讨的空间。好长一段时间没有写东西啦！这篇文章，大致会经过几次修改完成。主要参考了Leetcode的这道题——重新安排行程。其实，这道题目，用图一二三的方法也能解决，但是非常复杂，我花了很长时间。

定义

下面这段话，请同学们略过。

我真是越来越佩服欧拉了，哈哈哈！因为最近看数学比较多，所以经常看到欧拉的名字。这些数学家挺伟大的，这些数学理论给我们计算机人提供了指导，虽然有多少能派上用场真的不好说，但是有总比没有好。不过，话说回来，对于计算机人来说，理论当然重要，但是怎么去实现也是非常重要的！以前，我上离散数学，学得懂，但是不会用。拿到实际问题，根本不知道怎么用数学知识去解决。比如，排列与组合就是典型的例子，道理我都懂，怎么写个算法出来呢？以前我一直搞不出来，所以挫败感挺严重的。不过，现在一切都越来越明朗了。我感觉，我的数学知识逐渐能够派上用场了。要能够融会贯通还是需要付出挺多时间的，个人来讲，感觉学数学还是挺有兴趣的，所以，多花点时间不是什么大问题。

上图为柯尼斯堡的七座桥（摘自Wikipedia），要求你走过七座桥恰好一次。这个问题是无解的，因为图中一共有四个度数为奇数的顶点。奇定点意味着，你从这个点出发，如果要用完所有的边，你一定回不来；如果进入这个点，用完所有的边，你一定出不来。所以，要刚好走一遍，只能有两个奇定点。

1. 欧拉通路： 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。（不需要回到原点）

2. 欧拉回路： 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。（要能够回到原点）

3. 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图称为半欧拉图。

4. 欧拉图： 具有欧拉回路的无向图称为欧拉图。 

5. 连通图

    a. 对于无向图G，若从顶点vi到顶点vj有路径相连，则称vi和vj是连通的。如果在无向图G中，任意两点都是互通的，那么无向图G是连通的。如何用代码实现呢？其实从一个点出发，通过广度/深度优先遍历，能够遍历到每一个点，说明该图是连通的。

    b. 对于有向图G，若从顶点vi到顶点vj有路径相连（图中所有的边是同向的），则称vi和vj是连通的。如果在有向图G中，任意两点vi和vj，存在一条路径从vi到vj且存在一条路径从vj到vi，则有向图G是强连通的。如果任意两点都是连通的，则称G是连通的。（必须遍历C(n, 2)个定点组合了，我现在能想到的办法。）

性质

1. 对于无向图G

    a.  G 是欧拉图当且仅当 G 是连通的且没有奇度顶点。（我们首先可以对每个点的度数进行统计，判断是否符合条件。然后，进行深度优先遍历，如果能够遍历完所有的点，那么G是欧拉图）

    b. G 是半欧拉图当且仅当 G 是连通的且 G 中恰有 2 个奇度顶点。(首先，对度数进行统计，判断是否符合条件。然后，进行一次深度优先遍历就好了，如果能够遍历完所有的点，那么G是欧拉图)

证明无向图是连通的，只需要进行深度/广度优先遍历，能够遍历所有的点就行。

2. 对于有向图G

   a. G是欧拉图当且仅当 G 的所有顶点属于同一个连通分量且每个顶点的入度和出度相同。（首先，对度数进行统计，判断是否符合条件。然后，进行一次深度优先遍历就好了，如果能够遍历完所有的点，那么G是欧拉图。）

   b. G 是半欧拉图当且仅当 G 的所有顶点属于同一个连通分量且：1）恰有一个点的出度与入度相差1；2）恰有一个点的入度与出度相差1；3）其他顶点的入度与出度相等。（首先，对度数进行统计，判断是否符合条件。然后，从出度与入度相差1的顶点出发进行一次深度优先遍历就好了，如果能够遍历完所有的点，那么G是欧拉图。）

算法实现 - 针对有向图

1. 生成一张图，List edge是有两个String定点构成的边，List> graph是由图中所有的边构成的。

/**
 * @Author: zhaoyangyingmu
 * @Date: 2020/9/9
 * @Description: graph
 * @version: 1.0
 */
public class Graph {
    static String[] graphStr = new String[] {
            "[[\"EZE\",\"AXA\"],[\"TIA\",\"ANU\"],[\"ANU\",\"JFK\"],[\"JFK\",\"ANU\"],[\"ANU\",\"EZE\"],[\"TIA\",\"ANU\"],[\"AXA\",\"TIA\"],[\"TIA\",\"JFK\"],[\"ANU\",\"TIA\"],[\"JFK\",\"TIA\"]]",// 欧拉回路
            "[[\"JFK\",\"SFO\"],[\"JFK\",\"ATL\"],[\"SFO\",\"ATL\"],[\"ATL\",\"JFK\"],[\"ATL\",\"SFO\"]]", // 欧拉通路
            "[[\"MUC\",\"LHR\"],[\"JFK\",\"MUC\"],[\"SFO\",\"SJC\"],[\"LHR\",\"SFO\"]]",// 欧拉通路
            "[[\"MUC\",\"LHR\"],[\"JFK\",\"MUC\"],[\"SFO\",\"SJC\"],[\"LHR\",\"SFO\"], [\"LHJ\",\"LHJ\"]]" // LHJ不可达
    };
    public static List> generateGraph(String str) {
        str = str.substring(2, str.length()-2);
        String[] edges = str.split("],\\[");
        List> graph = new LinkedList<>();
        for (String edge: edges) {
            edge = edge.replaceAll("\"", "");
            String[] begin2end = edge.split(",");
            List edgeList = new LinkedList<>();
            edgeList.add(begin2end[0]);
            edgeList.add(begin2end[1]);
            graph.add(edgeList);
        }
        return graph;
    }
    public static List> generateGraph(int idx) {
        return generateGraph(graphStr[idx]);
    }
}

2. 出入度统计，构造邻接链表，设置所有的边为未访问的；最后深度优先遍历，用完的边要删除掉，返回一笔画的结果。

import java.util.*;

class Solution {
    Map> adjs = new HashMap<>();// 邻接链表
    Map degrees = new HashMap<>(); // 入度+出度
    Map visited = new HashMap<>(); // 是否访问
    List eulerPath = new LinkedList<>();

    /**
     * 如果是一张欧拉图，返回一笔画的路径(不唯一)
     * 否则返回null
     * */
    public List traverseEulerPath(List> graph) {
        for (List edge: graph) {
            String begin = edge.get(0);
            String end = edge.get(1);

            if (!adjs.containsKey(begin)) adjs.put(begin, new LinkedList<>());
            adjs.get(begin).add(end);

            if (!degrees.containsKey(begin)) degrees.put(begin, new int[]{0, 0});
            degrees.get(begin)[1] += 1;
            if (!degrees.containsKey(end)) degrees.put(end, new int[]{0,0});
            degrees.get(end)[0] += 1;

            if (!visited.containsKey(begin)) visited.put(begin , false);
            if (!visited.containsKey(end)) visited.put(end, false);
        }

        // 出入度统计
        String begin = null;
        String end = null;
        for (String point: degrees.keySet()) {
            int[] degree = degrees.get(point);
            if (degree[0] - degree[1] == 1) {// end point
                if (end == null) end = point;
                else return null;
            }
            else if (degree[1] - degree[0] == 1) {
                if (begin == null) begin = point;
                else return null;
            }
            else if (degree[1] - degree[0] == 0) continue;
            else return null; // 出度不等于入度
        }
        if ((begin == null && end != null)
                || (begin == null && end != null )) return null; // 只有一个点符合条件

        // begin与end同时为null，从任意点开始访问
        // 从begin开始访问
        if (begin == null) begin = degrees.keySet().iterator().next();
        dfs(begin);

        // 检查是否访问了所有的点
        for (String point: visited.keySet()) {
            if (!visited.get(point)) {
                System.out.println("point: " + point + " not available.");
                return null;
            }
        }

        Collections.reverse(eulerPath);
        return eulerPath;
    }

    private void dfs(String point) {
        visited.put(point, true);
        while (adjs.containsKey(point) && adjs.get(point).size() > 0) {
            String tmp = adjs.get(point).get(0);
            adjs.get(point).remove(0);
            dfs(tmp);
        }
        eulerPath.add(point);
    }
}