[ABC180F] Unbranched

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引

$AT$ 的题面大多数情况下都挺人性的

解法

考虑分析三个限制：
$-$ 图中无自环 : 对于构造图时特判大小为 $1$ 的环
$-$ 每个点度数最多为 $2$ : 仔细想想，这个限制翻译过来就是图中每一个连通块是一个 链 或者 环 , 不可能是 团 或者 树
$-$ 所有连通块最多恰好有 $L$ 个点 $:$ 没什么好说的， $DP$ 的时候限制一下或者装进 $DP$ 状态里转移

设计状态 ：

$$f_{i,j}:选i个点，构成的图中联通块的大小不超过j的合法方案数$$
那么$ans=f_{n,m}$

状态转移 ：

分别讨论加入的新的联通块是链或环的情况即可
链 ：
$$\begin{gathered} f_{i,j}\leftarrow \sum _{k=1}^{\min \{i,j+1,L\}}{f}_{i-k,j-(k-1)}\ast C_{k-1}^{n-(i-k)-1}\ast \frac{k!}{2} \\ 注意k=1的情况单独讨论 \end{gathered}$$
环 ：
$$\begin{gathered} f_{i,j}\leftarrow \sum _{k=2}^{min(i,j,L)}{f}_{i-k,j-k}\ast C_{k-1}^{n-(i-k)-1}\ast \frac{(k-1)!}{2} \\ 一样的，注意k=2的情况单独讨论 \end{gathered}$$

Code :

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 307,M=300,INF=0x3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+7 ,inv2=500000004;
int n,m,L;
ll ans;
ll f[N][N],fac[N],ifac[N];
void init() {
    for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=m;j++)
        f[i][j]=0;
}
ll qpow(ll ba,ll pow) {
    ll res=1; while(pow) {
        if(pow&1) res=res*ba%mod;
        ba=ba*ba%mod,pow>>=1;
    } return res;
} 
void pre() {
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[M]=qpow(fac[M],mod-2); for(int i=M;i;i--) ifac[i-1]=ifac[i]*i%mod;
}
ll C(ll x,ll y) { return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod; }
void work(int lim) {
	f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=0;j<=m;j++) {
            for(int k=1;k<=min(j+1,min(lim,i));k++) {
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-k][j-(k-1)]*C(n-(i-k)-1,k-1)%mod*(k>1?fac[k]*inv2%mod:1)%mod)%mod;
                if(k>1) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-k][j-k]*C(n-(i-k)-1,k-1)%mod*(k>2?fac[k-1]*inv2%mod:1)%mod)%mod;
            }
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&L);
    pre();
    work(L),ans=f[n][m];
    init(),work(L-1);
//    printf("%lld\n",ans);
    printf("%lld\n",((ans-f[n][m])%mod+mod)%mod);
}