Cesium中的相机—旋转矩阵
在学习坐标旋转的时候，一不小心就会把坐标系的旋转和矢量的旋转弄错，这里给出详细的两种旋转过程：
两种旋转矩阵的定义
下面仅以绕Z轴旋转为例，给出两种旋转的过程定义。
- 坐标系旋转，点不变(见下左图)
- 两个坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA和 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB初始时重合。
- 点P在原坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA中的坐标分量为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)；
- 若将坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB绕Z轴旋转（右手旋转法则） θ \theta θ角度，则点P在新的坐标 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB中的坐标分量为 ( x ′ , y ′ , z ′ ) ({x}',{y}',{z}') (x′,y′,z′)
- 同一个点P在两个坐标系中的坐标分量(列向量的形式)的关系可以由下面旋转矩阵的形式关联：
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta &\sin\theta & 0 \\ -\sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤
- 点旋转，坐标系不变
- 点P在原坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA中的坐标分量为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)；
- 若将P绕Z轴旋转（右手旋转法则） θ \theta θ角度，则新的点P’的坐标分量（仍为坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA）为 ( x ′ , y ′ , z ′ ) ({x}',{y}',{z}') (x′,y′,z′)
- 点P旋转前后的坐标分量(列向量的形式)的关系可以由下面旋转矩阵的形式关联：
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta & 0 \\ \sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤
两者的关联
可以看出，两种旋转方式的旋转矩阵刚好是转置或者互逆的。在使用的时候一定要区别清楚是哪一种。
以第二种为例，即一个点的旋转前后坐标分量的关系，可以等效成下图的转换过程：
- 两个坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA和 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB初始时重合；
- 点P在坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB中的坐标分量为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)；
- 若将坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB绕Z轴旋转（右手旋转法则） θ \theta θ角度，同时点P固定在坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB中随坐标系一起旋转；
- 旋转后的点p’在坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA中的新坐标分量为 ( x ′ , y ′ , z ′ ) ({x}',{y}',{z}') (x′,y′,z′)
若只看点P’，则其在坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB中的坐标分量为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)（无论坐标系 O − X B Y B Z B O-X_BY_BZ_B O−XBYBZB如何旋转），在坐标系 O − X A Y A Z A O-X_AY_AZ_A O−XAYAZA中的坐标分量为 ( x ′ , y ′ , z ′ ) ({x}',{y}',{z}') (x′,y′,z′)，参考上面第一种旋转转换方式，则有：
[ x y z ] = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ x ′ y ′ z ′ ] \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta &\sin\theta & 0 \\ -\sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix} ⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡x′y′z′⎦⎤
左乘旋转矩阵的逆矩阵，即可得到：
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta & 0 \\ \sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤
因此，本质上两种旋转是一样的！！！仅仅是表现形式不同而已！
STK Component与Cesium中旋转矩阵的区别
旋转矩阵的特点
绕X、Y、Z轴的矩阵称为旋转矩阵（也称基础旋转矩阵），它是一个正交矩阵，即有：
M M − 1 = M M T = I MM^{-1}=MM^{T}=I MM−1=MMT=I
STK Component中定义的旋转矩阵为第一种，Cesium及其他WebGL系统中的旋转矩阵为第二种！
下面给出两种旋转矩阵的完整形式。
第一种旋转矩阵(仅坐标系旋转)
绕X轴的旋转矩阵：
M x = [ 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ ] M_x= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & \cos\theta &\sin\theta \\ 0 & -\sin\theta &\cos\theta \\ \end{bmatrix} Mx=⎣⎡1000cosθ−sinθ0sinθcosθ⎦⎤
绕Y轴的旋转矩阵：
M y = [ cos θ 0 − sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ ] M_y= \begin{bmatrix} \cos\theta &0 &-\sin\theta \\ 0 & 1 &0 \\ \sin\theta &0 &\cos\theta \\ \end{bmatrix} My=⎣⎡cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ⎦⎤
绕Z轴的旋转矩阵：
M z = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] M_z= \begin{bmatrix} \cos\theta &\sin\theta & 0 \\ -\sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} Mz=⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤
若令 M M M表示旋转矩阵，则有：
[ x ′ y ′ z ′ ] = M ⋅ [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=M⋅⎣⎡xyz⎦⎤
其中， [ x , y , z ] T \begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T} [x,y,z]T表示点P在原坐标系中的坐标分量， [ x ′ , y ′ , z ′ ] T \begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T} [x′,y′,z′]T表示点P在旋转后的坐标系中的坐标分量。
第二种旋转矩阵(点或矢量随坐标系一起旋转)
绕X轴的旋转矩阵：
M x = [ 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ ] M_x= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & \cos\theta &-\sin\theta \\ 0 & \sin\theta &\cos\theta \\ \end{bmatrix} Mx=⎣⎡1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎦⎤
绕Y轴的旋转矩阵：
M y = [ cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ ] M_y= \begin{bmatrix} \cos\theta &0 &\sin\theta \\ 0 & 1 &0 \\ -\sin\theta &0 &\cos\theta \\ \end{bmatrix} My=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
绕Z轴的旋转矩阵：
M z = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] M_z= \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta & 0 \\ \sin\theta &\cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} Mz=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤
同样，若令 M M M表示旋转矩阵，则有：
[ x ′ y ′ z ′ ] = M ⋅ [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=M⋅⎣⎡xyz⎦⎤
其中， [ x , y , z ] T \begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T} [x,y,z]T表示点P在旋转后坐标系中的坐标分量（始终不变）， [ x ′ , y ′ , z ′ ] T \begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T} [x′,y′,z′]T表示点P旋转后在原坐标系中的坐标分量。
旋转矩阵与模型矩阵
在Cesium中，采用第2种的旋转矩阵！
在Cesium中的相机—WebGL基础中，我们说过，在WebGL中，缓存中存储的模型顶点的坐标就是原始坐标，通常就是模型本体坐标系下的坐标。在每一帧渲染时，需要根据模型在世界坐标系中的位置和姿态，将模型的所有顶点坐标转换为世界坐标系中的坐标，这个转换过程可用一4×4的矩阵表示，称为模型矩阵(Model Matrix）。
模型矩阵是4X4的矩阵，若仅考虑旋转（不考虑平移），则模型矩阵为3X3的矩阵，也就是旋转矩阵。
见下图，假设模型体坐标系初始与世界系重合，经过一系列的旋转后，体坐标系不再与世界系重合。
定义 M M M为世界系到体坐标系的旋转矩阵，则模型（见下图龙飞船模型）上任意一点P的坐标 [ x , y , z ] T \begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T} [x,y,z]T在世界系中的坐标为 [ x ′ , y ′ , z ′ ] T \begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T} [x′,y′,z′]T，两者通过旋转矩阵联系：
[ x ′ y ′ z ′ ] = M ⋅ [ x y z ] \begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′z′⎦⎤=M⋅⎣⎡xyz⎦⎤
这就是Cesium中旋转矩阵的定义，它将模型本体系中的坐标转换到世界坐标系中的坐标，因此也用来表示模型矩阵。
在上面阐述模型矩阵的过程中，我们定义了 M M M为世界系到体坐标系的旋转矩阵，实际上它可为一系列基础旋转矩阵的组合，后面再单独阐述！