代码随想录算法训练营Day41 (day40 休息) | 动态规划(3/17) LeetCode 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

来到动态规划的第三天了，题目会出现以前内容的融合，比如第二题会有BST

第一题

343. Integer Break

Given an integer n, break it into the sum of k positive integers, where k >= 2, and maximize the product of those integers.

Return the maximum product you can get.

最少拆成两个数，最高没有上限，那怎么拆呢？

还得靠动态规划来解决，根据动态规划的分析过程来想：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

2. 确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

3. dp的初始化

这里只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

4. 确定遍历顺序

先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

5. 举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

2  3  4  5  6    7    8    9    10

1  2  4  6  9  12  18   27   36 

所以代码如下：

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)   
        dp[2] = 1  

        for i in range(3, n + 1):
          
            for j in range(1, i // 2 + 1): 
                
                dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)
        
        return dp[n] 

第二题

96. Unique Binary Search Trees

Given an integer n, return the number of structurally unique BST's (binary search trees) which has exactly n nodes of unique values from 1 to n.

当n为3的时候，可以通过n等于1和2的状态推导出来。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)  
        dp[0] = 1  
        for i in range(1, n + 1):  
            for j in range(1, i + 1):  
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]  
        return dp[n]