目录
一、BFS算法(单源最短路径)
(1)介绍:
(2)例子:
二、Dijkstra算法(单源最短路径)
(1)介绍:
(2)例子:
第一步
第二步
第三步
第四步
最后
三、Floyd算法(各个顶点间的最短路径)
代码:
例子:
第一步
第二步
第三步
第四步
结论:
注意★★★★★:
这个算法是计算所有路径权值为1的图的最短路径。
从结点2出发,使用宽度优先遍历,获得最小生成树,树的层数也就是到达该结点的最短路径。
找到有向有权图的最短路径。
从V0出发找到最短路径
我们需要创建3个数组,分别存储
该结点是否已找到最短路径
最短路径的长度
路径上的前驱
找最短的路径长度,并移动到该结点
从该V4结点我们可以找到通往V4的路径长度为5(前驱为V0),
通往V1的新路径长度为3+5=8(前驱为V4),
还有V2的路径5+9=14(前驱为V4),V3的路径5+2=7(前驱为V4),更新数组。
遍历该结点是否已找到最短路径的数组,找到它们路径的长度最短的结点。
在上图中,最短结点为V3,于是,我们将移动到V3,并将V3设置为已找到最短路径。
我们找到了前往V0的新路径,但是V0已经找到了最短路径。所以跳过。
还找到了前往V2的新路径,路径长度为7+6=13,用它与14比较,发现小于14,所以更新数组。
遍历该结点是否已找到最短路径的数组,找到它们路径的长度最短的结点。
在上图中,最短结点为V1,于是,我们将移动到V1,并将V1设置为已找到最短路径。
我们找到了前往V2的新路径,路径长度为8+1=9,前驱为V1。
更新数组,发现V2已经是最后一个结点,直接设置为true。
我们可以通过这个数组任意结点找到到达V0的最短路径。
例如V2,L=9,v2 <- v1 <- v4 <- v0
时间复杂度:O()
注意:Dijkstra算法不适用于有负权值的带权图。
时间复杂度,O()
空间复杂度,O()
根据所给的图,不允许中转,做出相应的距离矩阵。
(1)加入V0,使路径允许在V0进行中转。
(2)我们发现,加入V0后,V2有新的路径指向V1,长度为5+6=11,与原来的进行比较,11<∞,于是更新矩阵A[V2][V1]的值为11,path[V2][V1]为0(V0为中转点)
(3)V1有新的路径指向V2,但是10+13>4,所以不更新。
(1)加入V1,使路径允许在V0,V1进行中转。
(2)我们发现,加入V1后,V0有新的路径指向V2,长度为4+6=10,与原来的进行比较,10<13,于是更新矩阵A[V0][V2]的值为10,path[V0][V2]为1(V1为中转点)
(1)加入V2,使路径允许在V0,V1,V2进行中转。
(2)我们发现,加入V2后,V1有新的路径指向V0,长度为4+5=9,与原来的进行比较,9<10,于是更新矩阵A[V1][V0]的值为9,path[V1][V0]为2(V2为中转点)
Floyd算法可以用于负权值带权图;
Floyd算法不能解决带有“负权回路"的图(有负权值的边组成回路),这种图有可能没有最短路径;