滑动窗口——单调队列

滑动窗口

给定一个大小为 n≤106的数组。

有一个大小为 k的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 k个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k为 3。
窗口位置 最小值 最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 -1 3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -3 3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -3 5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 -3 5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 3 6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 3 7

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。
输入格式
输入包含两行。第一行包含两个整数 n和 k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。
第二行有 n个整数，代表数组的具体数值。同行数据之间用空格隔开。

输出格式
输出包含两个。
第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。
第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

思路：

1. 如果用普通队列如何做。
   队列可以模拟滑动窗口不断从前弹出元素，从后进入元素的过程。
2. 优化：去掉一定没用的元素——队列变成单调。
   哪些元素是一定没用的呢？
   以求滑动窗口中最小值举例，找性质规律：
   若一个窗口的大小为6，值分别为：5 3 1 4 2 7
   在之后挑选最小值的过程中，5和3还有没有可能被选为最小值？
   答案是没有了，因为在向后滑动的过程中，如果5和3在窗口中，那么1一定也在窗口中，而1小于5 3，所以至少选择1，而不会选择5 3。
   同理，4也没有可能被选为最小值了，因为如果4在窗口中，1 2 至少有一个也在窗口中，所以也不会选到4的。
   那2 7 有没有可能被选为最小值呢？是有可能的，因为目前不知道2 7之后的元素大小，在窗口中比2 7小的比如1，但是当2 7在窗口中时，1可能已经被弹出窗口了，所以2 7 是有可能被选为最小值的。
   进一步归纳分析：
   窗口向右滑动 可以发现以下性质：当前在窗口中的元素，左边的元素会早于右边的元素弹出窗口，左边的元素存在时，右边的元素一定也存在于窗口中。
   基于上述性质：在当前窗口中，左边较大的元素一定不会被选为最小值，因为在窗口继续向右滑动的过程中，若左边较大的元素在窗口中，右边较小的元素一定也在窗口中，则轮不到左边较大的元素作为最小值。
   将每个元素的左边较大的值全部删掉后，队列中的每个值的左侧都小于等于该值，则队列为单调递增的。
   选最大值的情况反向对称即可。
3. 队头即为最大值或最小值。

写代码时，操作的先后顺序的逻辑要理顺：
每一轮：
1. 在队中去掉弹出窗口的元素
2. 删除左侧较大的值，并找到下个进队元素的位置，并进队
3. 输出队头元素（最小值）

单调队列并不是纯粹的队列，因为需要再队的尾部去除元素，因此用数组操作比较方便。

c++代码：

#include

using namespace std;

const int N=1e6+5;
int n,k;
int a[N],q[N];

int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=0;i<n;i++){
    //逻辑要理顺：
    /*每一轮：
    1.在队中去掉弹出窗口的元素
    2.删除左侧较大的值，并找到下个进队元素的位置，并进队
    3.输出队头元素（最小值）
	*/
        if(i>=k&&q[hh]==a[i-k]) hh++;
        while(tt>=hh&&q[tt]>a[i]) tt--;
        q[++tt]=a[i];
        if(i>=k-1) cout<<q[hh]<<" ";
        
    }
    cout<<endl;
    
    hh=0,tt=-1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i>=k&&q[hh]==a[i-k]) hh++; 
        while(tt>=hh&&q[tt]<a[i]) tt--;
        q[++tt]=a[i];
        if(i>=k-1) cout<<q[hh]<<" ";
    }

}