一元函数微分学

一 单调与极值

1.1 单调性

y = f(x) 在D上有定义。x₁,x₂∈D且x₁2。

• 严格增函数：f(x₁) < f(x₂)
• 严格减函数：f(x₁) > f(x₂)

单调性判别法

注解 (增加不一定可导，不可导则导数不存在)

1.2 极值点

定义

​ x₀为f(x)的极大值点：x = x₀ 处左右去心邻域函数值 0)

​ x₀为f(x)的极小值点：x = x₀ 处左右去心邻域函数值 >f(x₀)

结论1

• f(x)在x=a处取极值，则该点导数为0 或 不存在，反之不对
• f(x)可导且在x=a处取极值则f’(a)=0
• 极值是定义在邻域上的，因此端点不能说极值
• 若连续函数在[a,b]上有唯一极值点，则必为最值（结合图像）

1.3 判断步骤

费马引理：如果函数f(x)在x处可导,且在x处取得极值,那么f’(x₀) = 0

步骤：（注意泰勒公式的使用条件f^(k)(x)=0）

(命题点) 确定定义域D—求出f’x，求出f(x)的驻点和不可导点—利用判别法判断这些点是否为极值点—利用奇偶性辅助判断—或利用数形结合看图形

驻点：一阶导数=0 （极值点处导数=0，但导数=0处不一定是极值点；即极值点处为驻点或不可导点[尖点]，但驻点不一定是极值点）

第一充分条件（有时f’是否变号不好判断）

设 $f\left(x_0\right)=0$ (或$f(x)$ 在$x_0$ 处连续),且在 $x_0$ 的某去心邻域 $U\left(x_0,\delta \right)$内可导
(1) 若$x\in \left(x_0-\delta ,x_0\right)$时, $f^{\prime }(x)>0$,而$x\in \left(x_0,x_0+\delta \right)$时, $f^{\prime }(x)<0$,则$f(x)$在$x_0$处取得极大值;
(2) 若$x\in \left(x_0-\delta ,x_0\right)$时, $f^{\prime }(x)<0$,而$x\in \left(x_0,x_0+\delta \right)$时, $f^{\prime }(x)>0$,则$f(x)$在$ x_{0}$处取得极小值;(3)若$ x \in \dot{U} \left(x_{0}, \delta\right) $ 时, $f^{\prime }(x)$ 不变号,则 $f(x)$在 $x_0$ 处没有极值

第二充分条件

设$f(x)$在$x_0$处二阶可导,且$f^{\prime }\left(x_0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x_0\right)\ne 0$,则
(1) 当$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)<0,f(x)$在$x_0$处取极大值.
(2) 当$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)>0,f(x)$在$x_0$处取极小值.

泰勒公式判别法

设$f(x)$在$x_0$处$n(n\ge 2)$阶可导,且$f^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=\cdots =f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0$,但$f^{(n)}\left(x_0\right)\ne 0$,则
(1)当$ n$为偶数时${f(x)}$在$x_{0}$处取得极值.其中当 $f^{(n)}\left(x_0\right)>0$时取极小值,当$f^{(n)}\left(x_0\right)<0$ 时取极大值
(2)当$n$为奇数时$f(x)$在$x_0$处无极值

第二充分条件举例
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(x)}{x-x_0}=f^{\prime \prime }(x_0)>0\to f^{\prime }(x_0)>f^{\prime }(x)当x\to x_0^{+}\\ & \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(x)}{x-x_0}=f^{\prime \prime }(x_0)>0\to f^{\prime }(x_0)<f^{\prime }(x)当x\to x_0^{-}\\ & \because 当x\to x_0^{+}时,f^{\prime }(x)>0;当x\to x_0^{-}时,f^{\prime }(x)<0\\ & \therefore f(x_0)为极小值\end{array}$$

不可导点的四种情况

• 没有定义的点。 例如分母为0
• 不连续点/间断点
• 连续点但图像不光滑，尖点
• 斜率无限大点。例如垂直x轴

点可导的充要条件 左右导数存在且相等

【例题】2014数一

二 凹凸性

引理

​ 根据图像，当二阶导数>0（增加得越来越快/减少得越来越慢），微分dy小于变化量Δy （单调减时dy负得多，单调增时dy正得少）

​ 根据泰勒展开后还有一个关于二阶导数的高阶无穷小大于(小于)0也可以得出如下结论
$$\begin{gathered} f^{\prime \prime }(x)>0\to f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)当且仅当x=x_0时等号成立 \\ {f}^{\prime \prime }(x)<0\to f(x)\le f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)当且仅当x=x_0时等号成立 \end{gathered}$$

证明 (只证明第一个)
$$\begin{array}{rl}& f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(\delta )}{2!}(x-x_0{)}^2\\ & \because f^{\prime \prime }(x)>0\\ & \therefore f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x)(x-x_0)\\ & 当且仅当x=x_0时等号成立\end{array}$$

2.1 定义

函数中点 与 函数值中点

​ 拐点是一个坐标点而不单单是x的坐标

​ 拐点表明该点左右两侧的图像凹凸性不同，不能单纯使用二阶导数为0作为判断条件因为还有可能不存在，关键看该点两侧的二阶导数是否异号。

​ 在n阶可导点，极值点一定不是拐点，拐点也一定不是极值点。

​ 在不可导点，我们可以构造出既是拐点又是极值点的函数。换句话说，如果一个点既是极值点，又是拐点，那么这个点一定不可导。

【例题】2015数一

2.2 判别法

思路：找二阶导数=0的点

凹： 二阶导数 > 0。一阶导数变大 => 增加变快/减少变慢 => 曲线有向上的趋势

凸： 二阶导数 < 0。一阶导数变小 = >增加变慢/减少变快 => 曲线有向下的趋势

充分条件

• f(x)三阶可导，若二阶导=0，且三阶导不为0，则是拐点【3阶导不为0则二阶导为0时左右异号】
• f(x)2n+1阶可导，若f⁽²ⁿ⁾=0，且2n+1阶导不为0，则是拐点

注意上面只是充分条件，当f⁽³⁾(x)=0时，不能得出一定不是拐点的结论，转为看2阶导是否异号。

【例题】2011数一

证明 凹 （需要使用到引理）
$$\begin{array}{rl}& \because f^{\prime \prime }(x)>0\\ & \therefore f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_{)}(x-x_0)\\ & \because \forall x_1,x_2\in [a,b]且x_1\ne x_2,取\frac{x_1+x_2}{2}=x_0\\ & \therefore \frac{1}{2}f(x_1)>\frac{1}{2}f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\frac{1}{2}(x_1-x_0)\\ & 同理\frac{1}{2}f(x_2)>\frac{1}{2}f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\frac{1}{2}(x_2-x_0)\\ & 两式相加得\frac{1}{2}f(x_1)+f(x_2)>f(x_0)=f(\frac{x_1+x_2}{2})\\ & \therefore \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2})成立\end{array}$$
扩展

• 导数的意义 一阶斜率，二阶斜率的变化率，三阶凹凸变换趋势
• 多阶导数的几何意义
  • 一阶：正表增，负表减
  • 二阶：正，一阶导增，下凹；负，一阶导减，上凸
  • 三阶：正，下凹越来越厉害，上凸越来越弱
• 物理意义
  • 一阶 速度
  • 二阶 加速度
  • 三阶 加加速度/急动度/力变率
  • 四阶 痉挛度
  • 力变率反映人民的舒适程度，加速度/力恒定时候比力变换时候更舒适，人们看见速度感受加速度厌恶急动度

【例题】2014数一

三 渐近线

定义

​ 曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

​ 可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

3.1 水平渐近线

x = 无穷时,若$ \lim_{x \rightarrow ∞}f(x) = A$，称 y = A 为L:y=f(x)的水平渐近线。

函数图像可能没有水平渐近线，但是最多只有两条水平渐近线

3.2 铅直渐近线

不可导点 $若{\lim }_{x\to a}f(x)=\infty 或f(a\pm 0)=\infty$,则称x = a为曲线y=f(x)的铅直渐近线

出现在函数无定义处，即间断点

若x=a是f(x)的铅直渐近线则x=a是y=f(x)的间断点，反之不一定。

3.3 斜渐近线

无穷点，$若{\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=a(\ne 0,\infty ),{\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]=b$，称y = ax + b 为y=f(x)的渐近线

选择题时，判断函数能否表达成 ax+b+o(x)，可尝试泰勒。

【例题】

3.4 求法

首先我们注意到渐近线非为三种

• 铅直（x 间断点），就求得一个当趋于x的时，在该值处函数Y，趋于无穷则存在铅直渐近线
• 水平（x = ±无穷），就求得一个当x趋于无穷时函数值Y的极限，极限不存在就考虑 f(x)/x 看斜是否存在
• 斜渐近线，先判断比值 f(x)/x 极限k是否存在，若存在则有，再假设直线的截距b代入题中已知一般就能求出来了

然后，先找间断点判铅直，再令x为正负无穷，找水平/斜，注意一侧有水平则必无斜

注意

• 在一侧有水平渐近线则该侧不存在斜渐近线
• 若是偶函数，则斜渐进线也对称
• 水平最多两条，斜最多两条
• 有一些函数一眼可知不存在水平渐进线

【例题】

四 弧微分与曲率

弧微分

弧微分的基本公式: $(\mathrm{d}s{)}^2=(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2$,其中:
(1) 设$L:y=f(x)$,则$\mathrm{d}s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$;
(2) 设$L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}$则$\mathrm{d}s=\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$;
(3) 设$L:r=r(\theta )$,则$\mathrm{d}s=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$.

一些推导

$$\begin{array}{rl}& (\Delta s{)}^2=(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2\\ & (ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2\\ & \begin{array}{rl}ds=& \sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}\\ =& \sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}\\ =& \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx\end{array}\end{array}$$

设L:r = r(θ)
$$\begin{array}{rl}& x=r(\theta )\cos \theta ,(dx{)}^2=(r^{\prime }\cos -r\sin {)}^2\\ & y=r(\theta )\sin \theta ,(dy{)}^2=(r^{\prime }\sin +r\cos {)}^2\\ & ds=\sqrt{d(x{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\end{array}$$

曲率

曲率计算公式: $k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{\left(1+y^{\prime 2}\right)}^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径计算公式: $R=\frac{1}{k}$.

五 基础例题

点比较

包括：极值点，驻点(一阶导数=0)，拐点(左右两侧凹凸性不同)

1. 判大小

拐点

1. 判断拐点与凹凸区间

渐近线

根与零点

存在性：零点定理、罗尔定理(F’ = f)

根个数：单调性(区间)、罗尔定理推论、找异号区间(0、±1、±2)

1. 构造原函数

2. 数形结合问题

不等式证明

难点

常见方法：中值定理，单调性，凹凸性，最值定理

1. 中值定理

2. 保号性的直接运用