第三章 微分中值定理及其应用

第三章考题

1. 求极限
2. 函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点
3. 曲线的渐近线
4. 方程的根
5. 不等式的证明
6. 中值定理的证明题

微分中值定理

定理1：费马引理：

如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0

根据图像比较容易得出结论

定理2：罗尔定理：

如果函数在闭区间连续，开区间可导

两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0

证明：

方法一，几何明显

方法二，一定存在最小值m,最大值M

1. m==M，则可以证明导数处处为0
2. m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0

定理3：拉格朗日中值定理：

上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率

定理4：柯西中值定理

存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值

证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导

三个微分中值定理

1. 意义：建立函数和导数之间的关系
2. 罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例
3. 但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点

泰勒公式

泰勒公式意义

1. 建立函数和高阶导数的连接
2. 把函数用多项式逼近

两种余项的泰勒公式

皮亚诺余项

拉格朗日余项

区别：

1. 条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导

2. 关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小

   拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）

3. 皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值

   拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式

常用五个泰勒公式

导数的应用

1. 单调性：

   根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性

2. 函数的极值：

   在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值

定理8：极值的必要条件

如果可导，取得极值，则导数为0

将所有导数为0的点称作驻点

因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点

所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点

因为驻点是极值是必要条件所以

定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）

如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；

则该点为极值点

定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）

驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点

如果二阶<0为极大值

如果二阶>0为极小值

函数的最大最小值

找连续函数的最值

第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）

第二步：然后比较他们和端点的函数值

如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小

如果是应用题，需要建立目标函数

曲线的凹凸性

二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的

一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性

拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示

极值点可以是x轴上的点,x=具体的数

如何判定是否是拐点

极值点一个必要两个充分对应

曲线的渐近线

1）水平渐近线：最多两条

2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为0

3）斜渐近线：

函数作图

1. 确定定义域
2. 求一阶导数
3. 求二阶导数
4. 求渐近线

曲线的弧微分与曲率

曲率：K = |y’’|/(1+y’²⁾(3/2)

曲率半径：R = 1/K

基本题型

1. 函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点
2. 求渐近线
3. 求方程的根
4. 不等式证明
5. 中值定理以及证明题

一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点

极值只可能是导数为0或者导数不存在的点

如何判断：

1. 左右导数是否变号
2. 二阶导数是否!=0

导数不存在且为极值的条件是该点必须连续

有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可

二、渐近线

斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小

三、方程的根

通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根

题型：

方程根的存在性：

1. 零点函数定理，左右端点异号
2. 罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0

根的个数：

1. 单调性：这样就能确定只有一个
2. 罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点

四、不等式的证明

1. 单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解
2. 拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子
3. 最大最小值定理：最小值大于0

两个重要结论

sinx < x < tanx

x/(1+x) < In(1+x) < x

(采用中值定理证明)

五、中值定理的证明题

习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0