【洛谷 P1192】台阶问题 题解（动态规划）

台阶问题

题目描述

有 $N$ 级台阶，你一开始在底部，每次可以向上迈 $1\sim K$ 级台阶，问到达第 $N$ 级台阶有多少种不同方式。

输入格式

两个正整数 $N,K$。

输出格式

一个正整数 $ans(\mathrm{mod}100003)$，为到达第 $N$ 级台阶的不同方式数。

样例 #1

样例输入 #1

5 2

样例输出 #1

8

提示

• 对于 $20\%$ 的数据，$1\le N\le 10$，$1\le K\le 3$；
• 对于 $40\%$ 的数据，$1\le N\le 1000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 100000$，$1\le K\le 100$。

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思路

使用双重循环来遍历所有的状态。外层循环变量 i 表示当前的台阶数，内层循环变量 j 表示每次可以上的最大台阶数。

状态转移方程为：dp[i] = dp[i] + dp[i - j]

注意：

1. 阶梯数不可能为负数
2. 在每次累加之后立即进行取模操作

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AC代码

#include 
#define ll long long
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const int M = 100003;

int n, k;
ll dp[N];

int main()
{
    dp[0] = 1;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= k; j++)
        {
            if (i >= j)
            {
                dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % M;
                // cout << i << " " << j << endl;
            }
        } 
    }
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}