数据结构——排序算法——归并排序

将两个有序数组合并为一个有序数组

在第二个列表向第一个列表逐个插入的过程中，由于第二个列表已经有序，所以后续插入的元素一定不会在前面插入的元素之前。在逐个插入的过程中，每次插入时，只需要从上次插入的位置开始，继续向后寻找插入位置即可。这样一来，我们最多只需要将两个有序数组遍历一次就可以完成合并。

vector<int> merge(vector<int> arr1, vector<int> arr2)
{
	vector<int> result;
	int index1 = 0, index2 = 0;
	while (index1 < arr1.size() && index2 < arr2.size()) {
		if (arr1[index1] <= arr2[index2]) {
			result[index1 + index2] = arr1[index1];
			index1++;
		}
		else {
			result[index1 + index2] = arr2[index2];
			index2++;
		}
	}
	// 将剩余数字补到结果数组之后
	while (index1 < arr1.size()) {
		result[index1 + index2] = arr1[index1];
		index1++;
	}
	while (index2 < arr2.size()) {
		result[index1 + index2] = arr2[index2];
		index2++;
	}
	return result;
}

将两个无序数组合并为一个有序数组

我们可以把数组不断地拆成两份，直到只剩下一个数字时，这一个数字组成的数组我们就可以认为它是有序的。然后通过上述合并有序列表的思路，将 1 个数字组成的有序数组合并成一个包含 2 个数字的有序数组，再将 2 个数字组成的有序数组合并成包含 4 个数字的有序数组…直到整个数组排序完成。

 void mergeSort(vector<int> arr) {
	if (arr.size() == 0) return;
	vector<int> result = mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
	// 将结果拷贝到 arr 数组中
	for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
		arr[i] = result[i];
	}
}

// 对 arr 的 [start, end] 区间归并排序
 vector<int> mergeSort(vector<int> arr, int start, int end) {
	// 只剩下一个数字，停止拆分，返回单个数字组成的数组
	if (start == end) return vector<int>{arr[start]};

	int middle = (start + end) / 2;
	// 拆分左边区域
	vector<int> left = mergeSort(arr, start, middle);
	// 拆分右边区域
	vector<int> right = mergeSort(arr, middle + 1, end);
	// 合并左右区域
	return merge(left, right);
}

归并排序的优化：减少临时空间的开辟

为了减少在递归过程中不断开辟空间的问题，我们可以在归并排序之前，先开辟出一个临时空间，在递归过程中统一使用此空间进行归并即可。

// 将 result 的 [start, middle] 和 [middle + 1, end] 区间合并
void merge(vector<int> arr, int start, int end, vector<int> result) 
{
	int end1 = (start + end) / 2;
	int start2 = end1 + 1;
	// 用来遍历数组的指针
	int index1 = start;
	int index2 = start2;
	while (index1 <= end1 && index2 <= end) {
		if (arr[index1] <= arr[index2]) {
			result[index1 + index2 - start2] = arr[index1++];
		}
		else {
			result[index1 + index2 - start2] = arr[index2++];
		}
	}
	// 将剩余数字补到结果数组之后
	while (index1 <= end1) {
		result[index1 + index2 - start2] = arr[index1++];
	}
	while (index2 <= end) {
		result[index1 + index2 - start2] = arr[index2++];
	}
	// 将 result 操作区间的数字拷贝到 arr 数组中，以便下次比较
	while (start <= end) {
		arr[start] = result[start++];
	}
}


void mergeSort(vector<int> arr) 
{
	if (arr.size() == 0) return;
	vector<int> result;
	mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1, result);
}

// 对 arr 的 [start, end] 区间归并排序
void mergeSort(vector<int> arr, int start, int end, vector<int> result)
{
	// 只剩下一个数字，停止拆分
	if (start == end) return;
	int middle = (start + end) / 2;
	// 拆分左边区域，并将归并排序的结果保存到 result 的 [start, middle] 区间
	mergeSort(arr, start, middle, result);
	// 拆分右边区域，并将归并排序的结果保存到 result 的 [middle + 1, end] 区间
	mergeSort(arr, middle + 1, end, result);
	// 合并左右区域到 result 的 [start, end] 区间
	merge(arr, start, end, result);
}

原地归并排序

实现一

// 将 arr 的 [start, middle] 和 [middle + 1, end] 区间合并
void merge(vector<int> arr, int start, int end) 
{
	int end1 = (start + end) / 2;
	int start2 = end1 + 1;
	// 用来遍历数组的指针
	int index1 = start;
	int index2 = start2;
	while (index1 <= end1 && index2 <= end) {
		if (arr[index1] <= arr[index2]) {
			index1++;
		}
		else {
			// 右边区域的这个数字比左边区域的数字小，于是它站了起来
			int value = arr[index2];
			int index = index2;
			// 前面的数字不断地后移
			while (index > index1) {
				arr[index] = arr[index - 1];
				index--;
			}
			// 这个数字坐到 index1 所在的位置上
			arr[index] = value;
			// 更新所有下标，使其前进一格
			index1++;
			index2++;
			end1++;
		}
	}
}

// 对 arr 的 [start, end] 区间归并排序
void mergeSort(vector<int> arr, int start, int end)
{
	// 只剩下一个数字，停止拆分
	if (start == end) return;
	int middle = (start + end) / 2;
	// 拆分左边区域
	mergeSort(arr, start, middle);
	// 拆分右边区域
	mergeSort(arr, middle + 1, end);
	// 合并左右区域
	merge(arr, start, end);
}


void mergeSort(vector<int> arr)
{
	if (arr.size() == 0) return;
	mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
}

实现二

void exchange(vector<int> arr, int i, int j)
{
	int temp = arr[i];
	arr[i] = arr[j];
	arr[j] = temp;
}

// 将 arr 的 [start, middle] 和 [middle + 1, end] 区间合并
void merge(vector<int> arr, int start, int end)
{
	int end1 = (start + end) / 2;
	int start2 = end1 + 1;
	// 用来遍历数组的指针
	int index1 = start;
	while (index1 <= end1 && start2 <= end) {
		if (arr[index1] > arr[start2]) {
			// 将 index1 和 start2 下标的数字交换
			exchange(arr, index1, start2);
			if (start2 != end) {
				// 调整交换到 start2 上的这个数字的位置，使右边区域继续保持有序
				int value = arr[start2];
				int index = start2;
				// 右边区域比 arr[start2] 小的数字不断前移
				while (index < end && arr[index + 1] < value) {
					arr[index] = arr[index + 1];
					index++;
				}
				// 交换到右边区域的这个数字找到了自己合适的位置，坐下
				arr[index] = value;
			}
		}
		index1++;
	}
}


// 对 arr 的 [start, end] 区间归并排序
void mergeSort(vector<int> arr, int start, int end)
{
	// 只剩下一个数字，停止拆分
	if (start == end) return;
	int middle = (start + end) / 2;
	// 拆分左边区域
	mergeSort(arr, start, middle);
	// 拆分右边区域
	mergeSort(arr, middle + 1, end);
	// 合并左右区域
	merge(arr, start, end);
}


void mergeSort(vector<int> arr) {
	if (arr.size() == 0) return;
	mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);
}