The ninth work

Exercise_4.16

朱先清 2015301510008

1.课堂回顾

第四章第一节主要是地球绕太阳做圆周运动，不考虑其他因素的影响。可画出圆轨道。
而第二节中考虑偏心率之后，在远日点速度最小，在近日点速度最大。可画出图像如下：

捕获.PNG

水星进动2.PNG

第三节，水星进动，考虑广义相对论修正后为

F_G\approx\frac{GM_SM_M}{r^2}(1+\frac{\alpha}{r^2})

利用欧拉迭代法可画出图像如下：

水星进动.PNG

第四节，我们考虑三体问题，在地球绕太阳转动时，加入木星对其的万有引力的影响。

F_{EJ,x}=-\frac{GM_JM_E(x_e-x_j)}{r_{EJ}^2}

F_{EJ,y}=-\frac{GM_JM_E(y_e-y_j)}{r_{EJ}^2}

可画出实际质量时，三体运动的轨迹：

实际质量.PNG

2.作业要求

考虑太阳，地球，木星的三体问题，假设太阳不是静止不动的在原点，而是由三者的质心代替，给太阳一个初速度，使总动量为零，探究地球不同初值时的运动，和木星质量为实际质量的10,100,1000倍时的运动情况。

3.解题思路

• 关键为确定质心位置，分析各个行星的受力。
  求受力和加速度：
  以木星为例：

F_x=-G\frac{M_jM_s(x_j-x_s)}{r_sj^3}-G\frac{M_jM_e(x_j-x_e)}{r_sj^3}

F_y=-G\frac{M_jM_s(y_j-y_s)}{r_sj^3}-G\frac{M_jM_e(y_j-y_e)}{r_sj^3}

同理可得地球和太阳的受力。
确定质心：
设三个行星在一条直线上，太阳在左，地球和木星在右，距离为原始距离a(1+e)。利用质心公式，设太阳坐标为（-r_s），有：

M_s*r_s=M_e(a_e-r_s)+M_j(a_j-r_s)

可解得

r_s=\frac{M_ea_e+M_ja_j}{M_s+M_e+M_j}

因而可得三者的初始坐标，而，地球和木星的初始速度为v_min，再利用总动量为零可以求得太阳的初始速度：

v_{sy}=-\frac{M_j*v_{jy}+M_e*v_{ey}}{M_s}

3-body.PNG

4.数据图像分析

对于改变地球的初值：

• 改变初始速度：
  当地球速度变为2倍时，已经脱离了太阳的束缚，当木星与地球没有距离十分近的时候，木星仍然继续绕太阳运动。速度更大时，也将脱离太阳系。

  
  
  v_x_e=2times.PNG

• 改变木星速度
  当木星速度变为原来两倍时，木星将脱离太阳束缚而飞出太阳系。

  
  
  V_x_j=2times.PNG

• 改变地球质量：
  10倍

  
  
  100times.PNG
  
  

  1000倍

  
  
  M_e=1000times.PNG
  
  100000倍
  
  M_e=100000times.PNG
  
  1000000倍
  
  M_e=1000000times.PNG
  
  

  当地球的质量比太阳数量级小一时，使太阳的轨道产生较大影响，地球数量大于等于太阳的时，它们将远离质心。

• 改变木星质量
  10倍

  
  
  m_x_j=10times.PNG
  
  

  100倍

  
  
  m_x_j=100times.PNG
  
  1000倍
  
  m_x_j=1000times.PNG
  
  从上面三幅图可以看出，当木星质量数量级远小于太阳的时，质心接近于在太阳处，当木星质量数量级比太阳小一时，质心将偏离太阳，三者都做圆周运动。当木星质量数量级大于等于太阳的时，三者将偏离质心，发散出去。

5. 结论

由于太阳的实际质量远大于地球和木星质量，因而假定太阳静止不动是可以近似成立的，此时地球和木星在稳定的轨道上做圆周运动。当地球或者木星速度增大时，他们都将脱离太阳的束缚，飞离太阳系。这些结论与实际都比较相符，可以认为本次计算模拟基本正确。