算法刷题 week1

week 1

1. 找出数组中重复的数字

题目

给定一个长度为 n 的整数数组 nums，数组中所有的数字都在 0∼n−1 的范围内。

数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。

请找出数组中任意一个重复的数字。

注意：如果某些数字不在 0∼n−1 的范围内，或数组中不包含重复数字，则返回 -1；

数据范围

0≤n≤1000

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。
返回 2 或 3。

题解

(数组遍历) O(n)

首先遍历一遍数组，如果存在某个数不在0到n-1的范围内，则返回-1。

下面的算法的主要思想是把每个数放到对应的位置上，即让 nums[i] = i。

从前往后遍历数组中的所有数，假设当前遍历到的数是 nums[i]=x，那么：

• 如果x != i && nums[x] == x，则说明 x 出现了多次，直接返回 x 即可；
• 如果nums[x] != x，那我们就把 x 交换到正确的位置上，即 swap(nums[x], nums[i])，交换完之后如果nums[x] != x，则重复进行该操作。由于每次交换都会将一个数放在正确的位置上，所以swap操作最多会进行 n 次，不会发生死循环。

循环结束后，如果没有找到任何重复的数，则返回-1。

时间复杂度分析

每次swap操作都会将一个数放在正确的位置上，最后一次swap会将两个数同时放到正确位置上，一共只有 n 个数和 n 个位置，所以swap最多会进行 n−1次。所以总时间复杂度是 O(n)。

class Solution {
public:
    int duplicateInArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        for (auto x : nums)
            if (x < 0 || x > n - 1)
                return -1;
                
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (nums[i] != nums[nums[i]])    //注意，这里是while，一直交换
                swap(nums[i], nums[nums[i]]);
            if (nums[i] != i)
                return nums[i];
        }
        return -1;
    }
};

2. 不修改数组找出重复的数字

题目

给定一个长度为 n+1 的数组nums，数组中所有的数均在 1∼n 的范围内，其中 n≥1。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

数据范围

1≤n≤1000

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。
返回 2 或 3。

题解

(分治，抽屉原理) O(nlogn)

这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

抽屉原理：n+1 个苹果放在 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 n+1 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的取值的区间[1, n]划分成[1, n/2]和[n/2+1, n]两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。
注意这里的区间是指 数的取值范围，而不是 数组下标。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。

这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于n，和有n+1个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

复杂度分析

1. 时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小 O(logn) 次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是 O(n)。所以总时间复杂度是 O(nlogn)。
2. 空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是 O(1)。

class Solution {
public:
    int duplicateInArray(vector<int>& nums) {
        int l = 1, r = nums.size() - 1; //要将每个数的取值区间[1,n]划分成两个子区间，所以要-1
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1; // 划分的区间：[l, mid], [mid + 1, r]
            int s = 0;
            for (auto x : nums)
            	if (x >= l && x <= mid) s++;
            	//s += x >= l && x <= mid;
           		// 先判断(x >= l && x <= mid),再 s += ***
            if (s > mid - l + 1)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        return r;  //
    }
};